Formulaire · probabilitésFormelsammlung · Wahrscheinlichkeitsrechnung

Les probabilitésDie Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mesurer le hasard sans le prédire. Un vocabulaire (univers, événements), une poignée de règles de calcul, un arbre qui se pondère et se renverse, et une loi vedette, la binomiale. Le chapitre entier repose sur la combinatoire : compter les cas, puis les peser. Den Zufall messen, ohne ihn vorherzusagen. Ein Vokabular (Ergebnisraum, Ereignisse), eine Handvoll Rechenregeln, ein Baum, der gewichtet und umgekehrt wird, und eine Hauptdarstellerin, die Binomialverteilung. Das ganze Kapitel ruht auf der Kombinatorik: Fälle zählen, dann gewichten.

0Les symbolesDie Zeichen

Français

Le chapitre parle la langue des ensembles : chaque symbole traduit une phrase sur le hasard.

Deutsch

Das Kapitel spricht die Sprache der Mengen: jedes Zeichen übersetzt einen Satz über den Zufall.

Symbole	Français	Deutsch
Ω	L'univers : l'ensemble de toutes les issues possibles de l'expérience. Pour un dé, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.	Der Ergebnisraum: die Menge aller möglichen Ergebnisse des Experiments. Für einen Würfel: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A, B	Des événements : des sous-ensembles de Ω. « Obtenir un nombre pair » est l'événement {2, 4, 6}.	Ereignisse: Teilmengen von Ω. «Eine gerade Zahl würfeln» ist das Ereignis {2, 4, 6}.
A̅	L'événement contraire : tout ce qui n'est pas dans A. Il se réalise exactement quand A échoue.	Das Gegenereignis: alles, was nicht in A liegt. Es tritt genau dann ein, wenn A ausbleibt.
A ∪ B	« A ou B » : au moins l'un des deux se réalise. Le « ou » des mathématiques n'est pas exclusif.	«A oder B»: mindestens eines der beiden tritt ein. Das mathematische «oder» ist nicht ausschliessend.
A ∩ B	« A et B » : les deux se réalisent en même temps. Si A ∩ B = ∅, les événements sont incompatibles.	«A und B»: beide treten gleichzeitig ein. Ist A ∩ B = ∅, so sind die Ereignisse unvereinbar.
P(A)	La probabilité de A : un nombre entre 0 et 1 qui mesure la chance de A. P(Ω) = 1, P(∅) = 0.	Die Wahrscheinlichkeit von A: eine Zahl zwischen 0 und 1, die die Chance von A misst. P(Ω) = 1, P(∅) = 0.
P(A \| B)	La probabilité conditionnelle : la chance de A sachant que B s'est réalisé. L'univers rétrécit à B.	Die bedingte Wahrscheinlichkeit: die Chance von A, wenn man weiss, dass B eingetreten ist. Der Ergebnisraum schrumpft auf B.
X	Une variable aléatoire : un nombre attaché à chaque issue. Le gain d'un jeu, la somme de deux dés.	Eine Zufallsgrösse: eine Zahl, die jedem Ergebnis zugeordnet ist. Der Gewinn eines Spiels, die Summe zweier Würfel.
E(X)	L'espérance : la moyenne des valeurs de X, pondérées par leurs probabilités. Le gain moyen à long terme.	Der Erwartungswert: der Mittelwert der Werte von X, gewichtet mit ihren Wahrscheinlichkeiten. Der langfristige Durchschnittsgewinn.
σ	L'écart-type : la dispersion typique de X autour de son espérance. Son carré est la variance V(X).	Die Standardabweichung: die typische Streuung von X um ihren Erwartungswert. Ihr Quadrat ist die Varianz V(X).
B(n, p)	La loi binomiale : le nombre de succès en n répétitions indépendantes d'une épreuve qui réussit avec probabilité p.	Die Binomialverteilung: die Anzahl Erfolge bei n unabhängigen Wiederholungen eines Experiments mit Erfolgswahrscheinlichkeit p.

Le piège n° 1 · Die Falle Nr. 1

Une probabilité n'est jamais un pressentiment : c'est un rapport entre des cas, ou une fréquence limite. Avant tout calcul, écrire l'univers Ω. La moitié des erreurs du chapitre viennent d'un univers mal choisi, où des issues inégales sont traitées comme égales.

Eine Wahrscheinlichkeit ist nie eine Ahnung: sie ist ein Verhältnis von Fällen oder eine Grenzhäufigkeit. Vor jeder Rechnung den Ergebnisraum Ω hinschreiben. Die Hälfte der Fehler des Kapitels stammt aus einem schlecht gewählten Raum, in dem ungleiche Ergebnisse als gleich behandelt werden.

1Le langage des événementsDie Sprache der Ereignisse

Français

Avant de calculer, il faut savoir dire. « Ou », « et », « pas », « au moins » : chaque mot du problème devient une opération sur des ensembles.

Deutsch

Bevor man rechnet, muss man sprechen können. «Oder», «und», «nicht», «mindestens»: jedes Wort der Aufgabe wird zu einer Mengenoperation.

1.1 · L'univers et les événementsErgebnisraum und Ereignisse

Quoi · Was

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît toutes les issues possibles sans pouvoir prédire laquelle sortira. L'univers Ω les rassemble toutes ; un événement est une partie de Ω, et il « se réalise » quand l'issue obtenue lui appartient.

Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, dessen mögliche Ergebnisse man alle kennt, ohne vorhersagen zu können, welches eintritt. Der Ergebnisraum Ω versammelt sie alle; ein Ereignis ist eine Teilmenge von Ω, und es «tritt ein», wenn das erhaltene Ergebnis dazugehört.

Le diagramme dit tout : additionner P(A) et P(B) compte la lentille centrale deux fois. D'où la formule d'inclusion-exclusion.Das Diagramm sagt alles: P(A) und P(B) zu addieren zählt die mittlere Linse doppelt. Daher die Formel von Ein- und Ausschluss.

1.2 · Les règles de calculDie Rechenregeln

L'événement contraire · Das Gegenereignis

P(A̅) = 1 − P(A)

L'union · Die Vereinigung

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Pourquoi · Warum

A et A̅ se partagent l'univers sans se chevaucher : leurs probabilités s'additionnent en 1. La règle du contraire n'est que cela, mais elle est l'outil le plus rentable du chapitre : « au moins un » se calcule presque toujours par « un moins aucun ».

Pour l'union, le diagramme de la section 1.1 fait la preuve : P(A) + P(B) compte l'intersection deux fois, on la retranche donc une fois. Si A et B sont incompatibles, l'intersection est vide et la formule redevient une simple addition.

A und A̅ teilen sich den Ergebnisraum ohne Überlappung: ihre Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 1. Die Gegenereignis-Regel ist nicht mehr als das, aber sie ist das rentabelste Werkzeug des Kapitels: «mindestens ein» rechnet man fast immer als «eins minus keins».

Für die Vereinigung liefert das Diagramm aus Abschnitt 1.1 den Beweis: P(A) + P(B) zählt den Durchschnitt doppelt, also zieht man ihn einmal ab. Sind A und B unvereinbar, ist der Durchschnitt leer und die Formel wird wieder zur einfachen Addition.

Exemple · Beispiel Un dé : A = « pair » = {2, 4, 6}, B = « au moins 4 » = {4, 5, 6}. P(A ∪ B) = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6 = 2/3. Vérification directe : A ∪ B = {2, 4, 5, 6}, quatre issues sur six. Ein Würfel: A = «gerade» = {2, 4, 6}, B = «mindestens 4» = {4, 5, 6}. P(A ∪ B) = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6 = 2/3. Direkte Kontrolle: A ∪ B = {2, 4, 5, 6}, vier von sechs Ergebnissen.

2L'équiprobabilitéDie Gleichwahrscheinlichkeit

Français

Quand toutes les issues ont la même chance, la probabilité devient du dénombrement pur : c'est le pont entre ce chapitre et le précédent.

Deutsch

Haben alle Ergebnisse dieselbe Chance, wird die Wahrscheinlichkeit zu reinem Abzählen: das ist die Brücke zwischen diesem Kapitel und dem vorigen.

La règle de Laplace · Die Laplace-Regel

P(A) = cas favorables · günstige Fälle / cas possibles · mögliche Fälle = |A| / |Ω|

Quoi · Was

Dans un univers fini où chaque issue pèse pareil, la probabilité d'un événement est la proportion d'issues qu'il contient. Compter le haut, compter le bas : les quatre formules de la combinatoire deviennent les deux étages d'une fraction.

In einem endlichen Raum, in dem jedes Ergebnis gleich viel wiegt, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses der Anteil der Ergebnisse, die es enthält. Den Zähler zählen, den Nenner zählen: die vier Formeln der Kombinatorik werden zu den zwei Stockwerken eines Bruchs.

Pourquoi · Warum

L'hypothèse fait tout le travail : « équilibré », « au hasard », « bien mélangé » sont les mots qui, dans un énoncé, autorisent Laplace. Sans eux, la formule est illégale.

Le piège classique est un univers dont les issues n'ont pas le même poids. La somme de deux dés prend onze valeurs, de 2 à 12, mais ces onze valeurs ne sont pas équiprobables : il faut descendre aux 36 couples ordonnés, qui eux le sont.

Die Annahme leistet die ganze Arbeit: «fair», «zufällig», «gut gemischt» sind die Wörter, die in einer Aufgabe Laplace erlauben. Ohne sie ist die Formel unzulässig.

Die klassische Falle ist ein Raum, dessen Ergebnisse nicht gleich viel wiegen. Die Summe zweier Würfel nimmt elf Werte an, von 2 bis 12, aber diese elf Werte sind nicht gleichwahrscheinlich: man muss zu den 36 geordneten Paaren hinabsteigen, die es sind.

Exemple · Beispiel Somme de deux dés égale à 7 : les couples favorables sont (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), soit 6 sur 36 : P = 1/6. La somme 12 n'a qu'un couple, (6,6) : P = 1/36. Onze valeurs, et pourtant pas 1/11 chacune. Augensumme zweier Würfel gleich 7: die günstigen Paare sind (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), also 6 von 36: P = 1/6. Die Summe 12 hat nur ein Paar, (6,6): P = 1/36. Elf Werte, und doch nicht je 1/11.

Exemple · Beispiel Une main de 2 cartes dans un jeu de 36, probabilité de deux as : C(4,2) / C(36,2) = 6 / 630 = 1/105. Le haut et le bas de la fraction sortent tous deux de la masterclasse de combinatoire. Eine Hand von 2 Karten aus 36, Wahrscheinlichkeit von zwei Assen: C(4,2) / C(36,2) = 6 / 630 = 1/105. Zähler und Nenner des Bruchs stammen beide aus der Kombinatorik-Masterclass.

3La fréquence et le hasardHäufigkeit und Zufall

Français

Que signifie « le six sort avec probabilité 1/6 » pour un dé qu'on ne lance qu'une fois ? La réponse expérimentale : lancez-le beaucoup. La fréquence relative de chaque face se stabilise autour de sa probabilité, c'est la loi des grands nombres.

Faites l'expérience ici : lancez 10 fois, puis 10 000. Regardez le désordre des petits échantillons, puis l'ordre qui s'installe. Les traits ocre marquent les valeurs théoriques.

Deutsch

Was bedeutet «die Sechs fällt mit Wahrscheinlichkeit 1/6» für einen Würfel, den man nur einmal wirft? Die experimentelle Antwort: werfen Sie ihn oft. Die relative Häufigkeit jeder Seite stabilisiert sich um ihre Wahrscheinlichkeit, das ist das Gesetz der grossen Zahlen.

Machen Sie das Experiment hier: werfen Sie 10-mal, dann 10 000-mal. Sehen Sie das Durcheinander der kleinen Stichproben, dann die Ordnung, die sich einstellt. Die ockerfarbenen Striche markieren die theoretischen Werte.

Laboratoire · la loi des grands nombresLabor · das Gesetz der grossen Zahlen

L'expérienceDas Experiment

LancerWerfen

N (lancers)(Würfe)0

Plus grand écart |fréq. − proba|Grösste Abweichung |Häuf. − W.|·

Attention · Achtung

La loi des grands nombres parle de fréquences, pas de compensation. Après cinq six de suite, le dé ne « doit » rien : la probabilité du sixième six reste 1/6. Le hasard n'a pas de mémoire ; c'est la proportion qui converge, pas le compte qui s'équilibre.

Das Gesetz der grossen Zahlen spricht von Häufigkeiten, nicht von Ausgleich. Nach fünf Sechsen hintereinander «schuldet» der Würfel nichts: die Wahrscheinlichkeit der sechsten Sechs bleibt 1/6. Der Zufall hat kein Gedächtnis; die Proportion konvergiert, nicht der Kontostand gleicht sich aus.

4La conditionnelle et l'arbreBedingte Wahrscheinlichkeit und Baum

Français

Une information change les chances. « Sachant que » est l'expression la plus importante du chapitre, et l'arbre pondéré est sa machine à calculer.

Deutsch

Eine Information verändert die Chancen. «Unter der Bedingung, dass» ist der wichtigste Ausdruck des Kapitels, und der gewichtete Baum ist seine Rechenmaschine.

4.1 · Sachant queUnter der Bedingung

La probabilité conditionnelle · Die bedingte Wahrscheinlichkeit

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) · P(B) ≠ 0

Quoi · Was

Apprendre que B s'est réalisé rétrécit l'univers : les issues hors de B sont éliminées. La chance de A se recalcule dans ce monde réduit, en divisant par P(B) pour que le nouveau total fasse 1.

Zu erfahren, dass B eingetreten ist, verkleinert den Ergebnisraum: die Ergebnisse ausserhalb von B sind eliminiert. Die Chance von A wird in dieser reduzierten Welt neu berechnet, geteilt durch P(B), damit das neue Total 1 ergibt.

Exemple · Beispiel Un dé : sachant que le résultat est pair, quelle chance qu'il dépasse 3 ? L'univers rétrécit à {2, 4, 6} ; deux de ces trois issues dépassent 3 : P = 2/3, contre 1/2 sans l'information. Ein Würfel: gegeben, das Ergebnis ist gerade, wie gross ist die Chance, dass es über 3 liegt? Der Raum schrumpft auf {2, 4, 6}; zwei dieser drei Ergebnisse liegen über 3: P = 2/3, statt 1/2 ohne die Information.

4.2 · L'arbre pondéréDer gewichtete Baum

La règle du produit · Die Pfadregel

P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A) · le long d'un chemin · entlang eines Pfades

Les probabilités totales · Die totale Wahrscheinlichkeit

P(B) = P(A) · P(B | A) + P(A̅) · P(B | A̅) · somme des chemins vers B · Summe der Pfade nach B

Une urne, 3 rouges et 2 bleues, deux tirages sans remise. Le second étage porte des conditionnelles : le passé du chemin a changé l'urne. Total des feuilles : 20/20.Eine Urne, 3 rote und 2 blaue, zwei Ziehungen ohne Zurücklegen. Die zweite Stufe trägt bedingte Wahrscheinlichkeiten: die Vergangenheit des Pfades hat die Urne verändert. Total der Blätter: 20/20.

Pourquoi · Warum

L'arbre code trois règles en une image. Le long d'un chemin, on multiplie : c'est la définition de la conditionnelle, relue à l'envers. Les branches issues d'un même nœud totalisent 1 : contraire oblige. Et la probabilité d'un événement final est la somme de tous les chemins qui y mènent : probabilités totales.

La discipline paie : chaque poids du deuxième étage est une conditionnelle, calculée dans le monde où le premier étage a déjà eu lieu.

Der Baum kodiert drei Regeln in einem Bild. Entlang eines Pfades multipliziert man: das ist die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit, rückwärts gelesen. Die Äste aus demselben Knoten summieren sich zu 1: das Gegenereignis verlangt es. Und die Wahrscheinlichkeit eines Endereignisses ist die Summe aller Pfade, die dorthin führen: totale Wahrscheinlichkeit.

Die Disziplin zahlt sich aus: jedes Gewicht der zweiten Stufe ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit, berechnet in der Welt, in der die erste Stufe schon stattgefunden hat.

Exemple · Beispiel Probabilité que la seconde boule soit rouge : chemins RR et BR, soit 6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5. La même valeur qu'au premier tirage, et ce n'est pas un hasard : sans information sur la première boule, la seconde est « une boule au hasard ». Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel rot ist: Pfade RR und BR, also 6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5. Derselbe Wert wie beim ersten Zug, und das ist kein Zufall: ohne Information über die erste Kugel ist die zweite «eine zufällige Kugel».

5Renverser l'arbre : BayesDen Baum umkehren: Bayes

Français

L'arbre donne P(test positif | malade). La question du médecin va dans l'autre sens : P(malade | test positif). La formule de Bayes fait le demi-tour, et son résultat surprend presque tout le monde.

Réglez la maladie et le test, et lisez la réponse en effectifs : sur 10 000 personnes, les faux positifs de la grande population saine noient souvent les vrais positifs de la petite population malade.

Deutsch

Der Baum liefert P(Test positiv | krank). Die Frage des Arztes läuft in die andere Richtung: P(krank | Test positiv). Die Formel von Bayes macht die Kehrtwende, und ihr Ergebnis überrascht fast alle.

Stellen Sie Krankheit und Test ein und lesen Sie die Antwort in Anzahlen: unter 10 000 Personen ertränken die falsch Positiven der grossen gesunden Bevölkerung oft die echt Positiven der kleinen kranken.

La formule de Bayes · Der Satz von Bayes

P(A | B) = P(A) · P(B | A) / P(B) · P(B) par les probabilités totales · P(B) über die totale Wahrscheinlichkeit

Laboratoire · le dépistageLabor · der Screeningtest

Prévalence P(M)Prävalenz P(M)

Sensibilité P(+ | M)Sensitivität P(+ | M)

Spécificité P(− | M̅)Spezifität P(− | M̅)

P(+)·

P(M | +)·

Pourquoi · Warum

La formule n'a rien de mystérieux : c'est la définition de la conditionnelle, appliquée deux fois au même P(A ∩ B). Ce qui surprend, c'est le poids de la prévalence : un test excellent sur une maladie rare produit surtout des faux positifs, parce que les sains sont immensément plus nombreux que les malades.

Le réflexe qui sauve : traduire en effectifs. « Sur 10 000 personnes... » rend visible ce que les pourcentages cachent.

Die Formel hat nichts Geheimnisvolles: sie ist die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit, zweimal auf dasselbe P(A ∩ B) angewandt. Was überrascht, ist das Gewicht der Prävalenz: ein ausgezeichneter Test für eine seltene Krankheit produziert vor allem falsch Positive, weil die Gesunden ungleich zahlreicher sind als die Kranken.

Der rettende Reflex: in Anzahlen übersetzen. «Unter 10 000 Personen...» macht sichtbar, was die Prozente verbergen.

6L'indépendanceDie Unabhängigkeit

Événements indépendants · Unabhängige Ereignisse

P(A ∩ B) = P(A) · P(B) · équivaut à · gleichbedeutend mit P(A | B) = P(A)

Quoi · Was

Deux événements sont indépendants quand savoir que l'un s'est réalisé ne change rien aux chances de l'autre. Alors, et alors seulement, le « et » se calcule par simple produit.

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Wissen um das Eintreten des einen die Chancen des anderen nicht verändert. Dann, und nur dann, rechnet man das «und» als einfaches Produkt.

Pourquoi · Warum

C'est la règle du produit débarrassée de sa conditionnelle : si P(B | A) = P(B), alors P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Deux lancers d'un dé, deux tirages avec remise : indépendants. Deux tirages sans remise : dépendants, l'urne se souvient.

Ne pas confondre indépendants et incompatibles : des événements incompatibles de probabilités non nulles sont violemment dépendants, puisque l'un interdit l'autre.

Das ist die Pfadregel ohne ihre Bedingung: gilt P(B | A) = P(B), so ist P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Zwei Würfe eines Würfels, zwei Ziehungen mit Zurücklegen: unabhängig. Zwei Ziehungen ohne Zurücklegen: abhängig, die Urne erinnert sich.

Unabhängig und unvereinbar nicht verwechseln: unvereinbare Ereignisse mit positiven Wahrscheinlichkeiten sind heftig abhängig, denn das eine verbietet das andere.

Exemple · Beispiel « Au moins un six en quatre lancers » : le contraire est « aucun six », quatre événements indépendants de probabilité 5/6, donc P = 1 − (5/6)⁴ ≈ 0,518. Le contraire et l'indépendance, les deux outils du chapitre dans une seule ligne. «Mindestens eine Sechs in vier Würfen»: das Gegenereignis ist «keine Sechs», vier unabhängige Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 5/6, also P = 1 − (5/6)⁴ ≈ 0,518. Gegenereignis und Unabhängigkeit, die zwei Werkzeuge des Kapitels in einer Zeile.

7L'espéranceDer Erwartungswert

L'espérance d'une variable aléatoire · Der Erwartungswert einer Zufallsgrösse

E(X) = Σ xᵢ · P(X = xᵢ) · moyenne pondérée · gewichteter Mittelwert

Quoi · Was

Une variable aléatoire attache un nombre à chaque issue : un gain, une somme, un compte. Son espérance est la moyenne de ces nombres, chacun pesé par sa probabilité : ce que rapporte le jeu en moyenne, sur le long terme.

Eine Zufallsgrösse ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu: einen Gewinn, eine Summe, eine Anzahl. Ihr Erwartungswert ist der Mittelwert dieser Zahlen, jede mit ihrer Wahrscheinlichkeit gewichtet: was das Spiel im Durchschnitt einbringt, auf lange Sicht.

Pourquoi · Warum

La loi des grands nombres de la section 3 donne le sens : la moyenne des résultats observés converge vers E(X). Une espérance n'est donc pas une prédiction pour demain, c'est un bilan pour mille demains.

Un jeu est équitable quand l'espérance du gain net est nulle. Les jeux de casino ne le sont jamais : leur espérance est négative pour le joueur, c'est le modèle économique de la maison.

Das Gesetz der grossen Zahlen aus Abschnitt 3 gibt den Sinn: der Mittelwert der beobachteten Ergebnisse konvergiert gegen E(X). Ein Erwartungswert ist also keine Vorhersage für morgen, sondern eine Bilanz für tausend Morgen.

Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Nettogewinns null ist. Casinospiele sind es nie: ihr Erwartungswert ist für den Spieler negativ, das ist das Geschäftsmodell des Hauses.

Exemple · Beispiel Un dé équilibré : E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3,5. Une valeur que le dé ne peut pas produire : l'espérance est une moyenne, pas une issue. Jeu : misez 1 franc, gagnez 4 francs si le six sort. E(gain net) = (1/6) · 3 + (5/6) · (−1) = −2/6 : défavorable. Ein fairer Würfel: E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3,5. Ein Wert, den der Würfel nicht erzeugen kann: der Erwartungswert ist ein Mittelwert, kein Ergebnis. Spiel: 1 Franken setzen, 4 Franken bei einer Sechs. E(Nettogewinn) = (1/6) · 3 + (5/6) · (−1) = −2/6: unvorteilhaft.

8La loi binomialeDie Binomialverteilung

Français

Répétez n fois, indépendamment, une épreuve qui réussit avec probabilité p, et comptez les succès : voilà la loi binomiale. Elle réunit tout le chapitre, et le précédent : l'indépendance donne pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, la combinatoire donne le Cₙᵏ.

Deutsch

Wiederholen Sie n-mal, unabhängig, ein Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p, und zählen Sie die Erfolge: das ist die Binomialverteilung. Sie vereint das ganze Kapitel und das vorige: die Unabhängigkeit liefert pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, die Kombinatorik das Cₙᵏ.

La loi binomiale B(n, p) · Die Binomialverteilung B(n, p)

P(X = k) = Cₙᵏ · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ · E(X) = n · p · σ = √(n · p · (1 − p))

Le coefficient binomial compte les mots : autant de chemins à k succès qu'il y a de façons de placer k lettres S dans n cases.Der Binomialkoeffizient zählt die Wörter: so viele Pfade mit k Erfolgen, wie es Arten gibt, k Buchstaben S auf n Felder zu setzen.

Français

Explorez la loi entière : n et p dessinent l'histogramme de tous les P(X = k). Cliquez une barre pour lire sa valeur exacte et le cumul. Le trait ocre sous l'axe marque l'espérance np.

Deutsch

Erkunden Sie die ganze Verteilung: n und p zeichnen das Histogramm aller P(X = k). Klicken Sie einen Balken, um seinen exakten Wert und die Kumulierte zu lesen. Der ockerfarbene Strich unter der Achse markiert den Erwartungswert np.

Laboratoire · l'histogramme de B(n, p)Labor · das Histogramm von B(n, p)

n (épreuves)(Versuche)

p (succès)(Erfolg)

La barre choisieDer gewählte Balken·

P(X ≤ k)·

E(X) = np · σ·

Exemple · Beispiel Cinq lancers d'un dé, exactement deux six : X suit B(5, 1/6), donc P(X = 2) = C(5,2) · (1/6)² · (5/6)³ = 10 · 125/7776 ≈ 0,161. Et « au moins un six » repasse par le contraire : 1 − (5/6)⁵ ≈ 0,598. Fünf Würfe eines Würfels, genau zwei Sechsen: X folgt B(5, 1/6), also P(X = 2) = C(5,2) · (1/6)² · (5/6)³ = 10 · 125/7776 ≈ 0,161. Und «mindestens eine Sechs» läuft wieder über das Gegenereignis: 1 − (5/6)⁵ ≈ 0,598.

9La méthodeDie Methode

Français

Cinq pas, dans l'ordre. Les quatre premiers choisissent l'outil ; le cinquième évite le ridicule.

Deutsch

Fünf Schritte, der Reihe nach. Die ersten vier wählen das Werkzeug; der fünfte bewahrt vor dem Blamablen.

Écrire l'univers, et vérifier l'équiprobabilité.Den Ergebnisraum hinschreiben und die Gleichwahrscheinlichkeit prüfen.

Qu'est-ce qu'une issue, concrètement ? Les issues ont-elles toutes la même chance ? Si oui, Laplace et la combinatoire ; sinon, descendre à un univers plus fin qui, lui, est équiprobable. Was ist ein Ergebnis, konkret? Haben alle Ergebnisse dieselbe Chance? Wenn ja: Laplace und Kombinatorik; wenn nein: zu einem feineren Raum hinabsteigen, der gleichwahrscheinlich ist.

Traduire les mots en opérations.Die Wörter in Operationen übersetzen.

« Ou » devient ∪, « et » devient ∩, « pas » devient le contraire. « Au moins un » déclenche le réflexe du complémentaire : un moins aucun, presque toujours plus court. «Oder» wird ∪, «und» wird ∩, «nicht» wird das Gegenereignis. «Mindestens ein» löst den Komplement-Reflex aus: eins minus keins, fast immer kürzer.

L'expérience a-t-elle des étapes ?Hat das Experiment Stufen?

Si oui, dessiner l'arbre pondéré. Multiplier le long des chemins, additionner les chemins qui mènent au but. Chaque poids du deuxième étage est une conditionnelle : l'urne d'après, pas celle d'avant. Wenn ja, den gewichteten Baum zeichnen. Entlang der Pfade multiplizieren, die Pfade zum Ziel addieren. Jedes Gewicht der zweiten Stufe ist bedingt: die Urne danach, nicht die davor.

Reconnaître les situations types.Die Standardsituationen erkennen.

La question renverse-t-elle une conditionnelle ? Bayes. Compte-t-elle des succès en n répétitions indépendantes ? Binomiale. Demande-t-elle un gain moyen ? Espérance. Trois signatures qui règlent la moitié des exercices. Kehrt die Frage eine bedingte Wahrscheinlichkeit um? Bayes. Zählt sie Erfolge in n unabhängigen Wiederholungen? Binomial. Fragt sie nach einem Durchschnittsgewinn? Erwartungswert. Drei Signaturen, die die Hälfte der Aufgaben erledigen.

Contrôler l'ordre de grandeur.Die Grössenordnung kontrollieren.

Toute probabilité vit entre 0 et 1 ; les feuilles d'un arbre totalisent 1 ; un résultat de 3,2 n'est pas une probabilité audacieuse, c'est une erreur. Et sur un petit cas, énumérer pour vérifier. Jede Wahrscheinlichkeit lebt zwischen 0 und 1; die Blätter eines Baumes summieren sich zu 1; ein Ergebnis von 3,2 ist keine kühne Wahrscheinlichkeit, sondern ein Fehler. Und im kleinen Fall: aufzählen und prüfen.

10Les six erreursDie sechs Fehler

Erreur 1 · Fehler 1

Supposer l'équiprobabilité sans la vérifier. « Gagner ou perdre, donc une chance sur deux » : le sophisme le plus vendu du chapitre. Onze sommes de deux dés, et pourtant pas 1/11 chacune. Laplace exige un univers où chaque issue pèse pareil.

Gleichwahrscheinlichkeit annehmen, ohne sie zu prüfen. «Gewinnen oder verlieren, also fifty-fifty»: der meistverkaufte Trugschluss des Kapitels. Elf Augensummen zweier Würfel, und doch nicht je 1/11. Laplace verlangt einen Raum, in dem jedes Ergebnis gleich viel wiegt.

Erreur 2 · Fehler 2

Confondre P(A | B) et P(B | A). « 99 % des malades sont positifs » ne dit pas que 99 % des positifs sont malades : le laboratoire de la section 5 montre l'écart, parfois d'un facteur cinquante. Le sens de la barre verticale n'est pas décoratif.

P(A | B) und P(B | A) verwechseln. «99 % der Kranken sind positiv» heisst nicht, dass 99 % der Positiven krank sind: das Labor in Abschnitt 5 zeigt den Abstand, manchmal um den Faktor fünfzig. Die Richtung des senkrechten Strichs ist keine Dekoration.

Erreur 3 · Fehler 3

Multiplier sans indépendance. Deux tirages sans remise, deux pannes du même réseau, deux symptômes de la même maladie : dépendants. Le produit simple exige l'indépendance ; sinon, c'est la règle du produit avec conditionnelle, donc l'arbre.

Ohne Unabhängigkeit multiplizieren. Zwei Ziehungen ohne Zurücklegen, zwei Ausfälle desselben Netzes, zwei Symptome derselben Krankheit: abhängig. Das einfache Produkt verlangt Unabhängigkeit; sonst gilt die Pfadregel mit Bedingung, also der Baum.

Erreur 4 · Fehler 4

Additionner sans retrancher l'intersection. « Pique ou figure » : 9/36 + 12/36 compte trois cartes deux fois ; la bonne réponse passe par − 3/36. Le diagramme de la section 1 vaut mille relectures.

Addieren, ohne den Durchschnitt abzuziehen. «Pik oder Bildkarte»: 9/36 + 12/36 zählt drei Karten doppelt; die richtige Antwort geht über − 3/36. Das Diagramm aus Abschnitt 1 ist tausend Wiederholungen wert.

Erreur 5 · Fehler 5

Prêter une mémoire au hasard. Après cinq pile, croire le face « en retard » ; après cinq pertes, croire le gain « dû ». La pièce ne tient pas de comptabilité. La loi des grands nombres parle de proportions à long terme, jamais du prochain lancer.

Dem Zufall ein Gedächtnis andichten. Nach fünfmal Kopf die Zahl für «überfällig» halten; nach fünf Verlusten den Gewinn für «fällig». Die Münze führt keine Buchhaltung. Das Gesetz der grossen Zahlen spricht von langfristigen Proportionen, nie vom nächsten Wurf.

Erreur 6 · Fehler 6

Attaquer « au moins un » de front. Découper en « exactement un, exactement deux, ... » est long et truffé de recouvrements. Le complémentaire fait le travail en une ligne : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Si votre calcul enfle, c'est le signal.

«Mindestens ein» frontal angreifen. Die Zerlegung in «genau eins, genau zwei, ...» ist lang und voller Überschneidungen. Das Gegenereignis erledigt die Arbeit in einer Zeile: P(mindestens eins) = 1 − P(keins). Schwillt Ihre Rechnung an, ist das das Signal.

11Se testerSich prüfen

Français

Huit questions, une seule bonne réponse à chaque fois. L'explication tombe après votre choix.

Deutsch

Acht Fragen, jeweils genau eine richtige Antwort. Die Erklärung erscheint nach Ihrer Wahl.

12Lexique FR/DEWortschatz FR/DE

Français	Deutsch
la probabilité	die Wahrscheinlichkeit
l'expérience aléatoire	das Zufallsexperiment
l'univers	der Ergebnisraum
l'issue	das Ergebnis
l'événement	das Ereignis
l'événement contraire	das Gegenereignis
incompatibles / disjoints	unvereinbar / disjunkt
équiprobable	gleichwahrscheinlich
cas favorables / possibles	günstige / mögliche Fälle
la fréquence relative	die relative Häufigkeit
la loi des grands nombres	das Gesetz der grossen Zahlen
la probabilité conditionnelle	die bedingte Wahrscheinlichkeit
sachant que	unter der Bedingung, dass
l'arbre pondéré	das gewichtete Baumdiagramm
les probabilités totales	die totale Wahrscheinlichkeit
la formule de Bayes	der Satz von Bayes
indépendant	unabhängig
avec / sans remise	mit / ohne Zurücklegen
la variable aléatoire	die Zufallsgrösse
l'espérance	der Erwartungswert
la variance / l'écart-type	die Varianz / die Standardabweichung
le jeu équitable	das faire Spiel
l'épreuve de Bernoulli	das Bernoulli-Experiment
le succès / l'échec	der Erfolg / der Misserfolg
la loi binomiale	die Binomialverteilung
le dépistage	das Screening / die Reihenuntersuchung