Formulaire · analyseFormelsammlung · Analysis

Suites, sommes et sériesFolgen, Summen und Reihen

Trois pages du formulaire, expliquées formule par formule : ce que c'est, pourquoi elle existe, comment on s'en sert. Phrases courtes. Un exemple chiffré partout. Et de quoi manipuler les formules soi-même. Drei Seiten der Formelsammlung, Formel für Formel erklärt: was sie ist, warum es sie gibt, wie man sie anwendet. Kurze Sätze. Überall ein Zahlenbeispiel. Und Werkzeuge, um die Formeln selbst auszuprobieren.

0Les symbolesDie Zeichen

Français

Une formule n'est pas difficile. C'est une phrase écrite en abrégé. Voici le dictionnaire. Tapez dans le champ de filtre en haut pour retrouver un symbole.

Deutsch

Eine Formel ist nicht schwierig. Sie ist ein abgekürzt geschriebener Satz. Hier ist das Wörterbuch. Tippen Sie oben ins Filterfeld, um ein Zeichen zu finden.

Symbole	Français	Deutsch
n	Un rang. Une position dans la liste. Toujours un nombre entier.	Eine Stelle. Eine Position in der Liste. Immer eine ganze Zahl.
tₙ	Le terme qui occupe la position n. Le petit chiffre en bas n'est pas une multiplication : c'est un numéro de place.	Das Glied an der Stelle n. Die kleine Zahl unten ist keine Multiplikation, sondern eine Platznummer.
t₁	Le tout premier terme. Le point de départ.	Das allererste Glied. Der Ausgangspunkt.
tₙ₋₁	Le terme juste avant celui de rang n. Le voisin de gauche.	Das Glied unmittelbar vor der Stelle n. Der linke Nachbar.
r	La raison. Le pas de la progression : ce qu'on ajoute, ou ce par quoi on multiplie.	Die Differenz (arithmetisch) oder der Quotient (geometrisch). Der Schritt der Folge.
Sₙ	La somme des n premiers termes.	Die Summe der ersten n Glieder.
S∞	La somme de tous les termes, sans s'arrêter jamais.	Die Summe aller Glieder, ohne jemals aufzuhören.
∞	Pas un nombre. Une direction : « ça continue sans fin ».	Keine Zahl. Eine Richtung: «es geht endlos weiter».
Σ	Un grand S grec. Il dit : additionne tout ce qui suit. Le bas dit où commencer, le haut où s'arrêter.	Ein grosses griechisches S. Es sagt: addiere alles Folgende. Unten steht der Anfang, oben das Ende.
k	Un compteur. Il prend toutes les valeurs l'une après l'autre.	Ein Zähler. Er nimmt alle Werte nacheinander an.
u_k	Le terme numéro k. Même idée que tₙ : la lettre change, le sens non.	Das Glied Nummer k. Gleiche Idee wie tₙ: der Buchstabe wechselt, der Sinn nicht.
sₙ	La somme partielle : on additionne les n premiers termes et on s'arrête là.	Die Teilsumme: man addiert die ersten n Glieder und hört dort auf.
lim	La valeur vers laquelle on se dirige quand on continue très longtemps. On ne l'atteint pas forcément.	Der Grenzwert: der Wert, dem man zustrebt, wenn man sehr lange weitermacht. Man erreicht ihn nicht unbedingt.
→	« tend vers », « se rapproche de ».	«strebt zu», «nähert sich».
\|r\|	La valeur absolue : le nombre sans son signe. \|−3\| vaut 3.	Der Betrag: die Zahl ohne ihr Vorzeichen. \|−3\| ist 3.
rⁿ	r multiplié par lui-même n fois.	r n-mal mit sich selbst multipliziert.
ᵏ√u_k	La racine k-ième : quel nombre, élevé à la puissance k, redonne u_k ?	Die k-te Wurzel: welche Zahl ergibt, in die k-te Potenz erhoben, wieder u_k?
c	Un nom donné au résultat d'une limite, pour pouvoir en parler ensuite.	Ein Name für das Ergebnis eines Grenzwerts, um anschliessend davon sprechen zu können.

Le piège n° 1 · Die Falle Nr. 1

Un indice n'est pas un exposant. t₂ veut dire « le deuxième terme ». t² veut dire « t multiplié par t ». Le premier est en bas, le second est en haut.

Ein Index ist kein Exponent. t₂ heisst «das zweite Glied». t² heisst «t mal t». Das erste steht unten, das zweite oben.

1Les progressionsDie Folgen

Français

Une progression, c'est une liste de nombres construite avec une règle fixe. Toujours la même règle, d'un terme au suivant. Il n'y en a que deux sortes.

Arithmétique : on ajoute toujours la même chose. 3, 7, 11, 15, 19…

Géométrique : on multiplie toujours par la même chose. 3, 6, 12, 24, 48…

Voilà. Tout le chapitre découle de ces deux phrases.

Deutsch

Eine Folge ist eine Liste von Zahlen, die nach einer festen Regel gebildet wird. Immer dieselbe Regel, von einem Glied zum nächsten. Es gibt nur zwei Arten.

Arithmetisch: man addiert stets dasselbe. 3, 7, 11, 15, 19…

Geometrisch: man multipliziert stets mit demselben. 3, 6, 12, 24, 48…

Das ist alles. Das ganze Kapitel folgt aus diesen zwei Sätzen.

Atelier · fabriquez votre progression Werkstatt · bauen Sie Ihre Folge

TypeArt

t₁

n = 8

tₙ·

Sₙ·

S∞·

1.1 · La règle de constructionDie Bildungsregel

Arithmétique · Géométrique

tₙ = tₙ₋₁ + r · tₙ = tₙ₋₁ × r

Quoi · Was

Ça dit comment fabriquer un terme à partir du précédent.

« Le terme de rang n égale le terme d'avant, plus la raison. »

Sie sagt, wie man ein Glied aus dem vorangehenden bildet.

«Das Glied an der Stelle n ist das vorherige Glied plus die Differenz.»

Pourquoi · Warum

C'est la définition. C'est l'ADN de la progression.

Tout le reste du tableau n'est qu'une conséquence de cette ligne.

Das ist die Definition. Das ist die DNA der Folge.

Alles Übrige in der Tafel ist nur eine Folge dieser einen Zeile.

Comment · Wie

On part du premier terme. On applique la règle. On recommence.

Parfaite pour avancer pas à pas. Mauvaise pour aller loin.

Pour le 500ᵉ terme, il faudrait 499 opérations. D'où la formule suivante.

Man beginnt beim ersten Glied. Man wendet die Regel an. Man wiederholt.

Ideal für Schritt um Schritt. Schlecht für weite Sprünge.

Für das 500. Glied bräuchte man 499 Rechnungen. Daher die nächste Formel.

1.2 · Le terme de rang nDas Glied an der Stelle n

Arithmétique · Arithmetisch

tₙ = t₁ + (n − 1) × r

Géométrique · Geometrisch

tₙ = t₁ × r^{n − 1}

Quoi · Was

C'est le raccourci. Il donne n'importe quel terme d'un coup, sans passer par tous ceux d'avant.

Das ist die Abkürzung. Sie liefert jedes beliebige Glied auf einen Schlag, ohne alle vorangehenden durchzugehen.

Pourquoi · Warum

Parce qu'aller de proche en proche est trop lent.

On veut sauter directement à la bonne place.

Weil Schritt für Schritt zu langsam ist.

Man will unmittelbar an die richtige Stelle springen.

Comment · Wie

On compte les pas, pas les termes.

Du 1ᵉʳ au 5ᵉ terme, on fait 4 pas. Pas 5.

C'est toute l'explication du n − 1. Il n'y a rien d'autre.

Chaque pas ajoute r → on ajoute r un nombre de fois égal à n − 1.

Chaque pas multiplie par r → on multiplie autant de fois : c'est rⁿ⁻¹.

Man zählt die Schritte, nicht die Glieder.

Vom 1. zum 5. Glied macht man 4 Schritte. Nicht 5.

Das ist die ganze Erklärung für n − 1. Mehr steckt nicht dahinter.

Jeder Schritt addiert r → man addiert r genau n − 1 mal.

Jeder Schritt multipliziert mit r → ebenso oft: das ist rⁿ⁻¹.

Exemple · Beispiel t₁ = 3, r = 4 → t₅₀₀ = 3 + 499 × 4 = 1999. · t₁ = 3, r = 2 → t₁₀ = 3 × 2⁹ = 1536. Eine einzige Zeile statt 499 Rechnungen.

La vérification qui ne trompe jamais · Die untrügliche Probe

Testez la formule sur n = 1 : on doit retrouver t₁.
t₁ + 0 × r = t₁ ✓ t₁ × r⁰ = t₁ ✓
Avec n au lieu de n − 1, ça ne tombe pas juste. C'est ainsi qu'on repère l'erreur.

Prüfen Sie die Formel bei n = 1: es muss t₁ herauskommen.
t₁ + 0 × r = t₁ ✓ t₁ × r⁰ = t₁ ✓
Mit n statt n − 1 stimmt es nicht. So erkennt man den Fehler.

1.3 · La symétrieDie Symmetrie

t₁₊ᵢ + tₙ₋ᵢ = t₁ + tₙ · t₁₊ᵢ × tₙ₋ᵢ = t₁ × tₙ

Quoi · Was

Prenez un terme un peu après le début. Prenez le terme aussi loin avant la fin.

Additionnez-les : vous retombez sur la somme du premier et du dernier.

Nehmen Sie ein Glied kurz nach dem Anfang. Nehmen Sie das Glied ebenso weit vor dem Ende.

Addieren Sie beide: Sie erhalten wieder die Summe des ersten und des letzten.

Pourquoi · Warum

Ce qu'on gagne d'un côté, on le perd de l'autre.

Avancer de deux places ajoute deux fois la raison. Reculer de deux l'enlève deux fois.

Les deux mouvements s'annulent exactement.

Was man auf der einen Seite gewinnt, verliert man auf der anderen.

Zwei Plätze vorwärts addiert die Differenz zweimal. Zwei Plätze rückwärts entfernt sie zweimal.

Beide Bewegungen heben sich genau auf.

Comment · Wie

Presque jamais utilisée telle quelle en exercice.

Elle sert à démontrer la formule de la somme. C'est son vrai métier.

In Übungen fast nie unmittelbar gebraucht.

Sie dient dem Beweis der Summenformel. Das ist ihre eigentliche Aufgabe.

Exemple · Beispiel 3, 7, 11, 15, 19 → 3 + 19 = 22 et 7 + 15 = 22. Le terme du milieu vaut 11, la moitié de 22. Das mittlere Glied ist 11, also die Hälfte von 22.

1.4 · La somme arithmétiqueDie arithmetische Summe

Sₙ = n × (t₁ + tₙ) / 2

Quoi · Was

Le nombre de termes, multiplié par la moyenne du premier et du dernier.

Die Anzahl der Glieder, multipliziert mit dem Mittelwert des ersten und des letzten.

Pourquoi · l'astuce de Gauss · Warum · der Trick von Gauss

Écrivez la liste. Écrivez-la une seconde fois, à l'envers, en dessous.

Additionnez colonne par colonne : chaque colonne donne le même total, t₁ + tₙ.

Il y a n colonnes → le total vaut n × (t₁ + tₙ).

Mais on a compté la liste deux fois. On divise par deux.

Schreiben Sie die Liste auf. Schreiben Sie sie ein zweites Mal darunter, rückwärts.

Addieren Sie spaltenweise: jede Spalte ergibt dieselbe Summe, t₁ + tₙ.

Es gibt n Spalten → die Summe ist n × (t₁ + tₙ).

Doch man hat die Liste zweimal gezählt. Man teilt durch zwei.

Exemple · Beispiel 1 + 2 + … + 100 → 100 × 101 ÷ 2 = 5050. Die Rechnung, die Gauss mit sieben Jahren angestellt haben soll.

1.5 · La somme géométriqueDie geometrische Summe

Sₙ = t₁ × (rⁿ − 1) / (r − 1) = (tₙ × r − t₁) / (r − 1) [ r ≠ 1 ]

Quoi · Was

Deux écritures du même résultat.

La première si l'on connaît le premier terme et le nombre de termes.

La seconde si l'on connaît le dernier terme.

Zwei Schreibweisen desselben Ergebnisses.

Die erste, wenn man das erste Glied und die Anzahl kennt.

Die zweite, wenn man das letzte Glied kennt.

Pourquoi · l'astuce du décalage · Warum · der Verschiebungstrick

Appelez S la somme. Multipliez tout par r : c'est la même liste, décalée d'un cran.

Soustrayez l'une de l'autre : tout le milieu s'annule.

Il ne reste que deux termes, celui du début et celui de la fin. D'où la formule.

Nennen Sie die Summe S. Multiplizieren Sie alles mit r: dieselbe Liste, um eins verschoben.

Subtrahieren Sie die eine von der anderen: die ganze Mitte hebt sich auf.

Es bleiben nur zwei Glieder, das erste und das letzte. Daher die Formel.

Comment · Wie

Une seule précaution : la raison ne doit pas valoir 1.

Sinon on diviserait par zéro. Et si r = 1, tous les termes sont égaux : la somme vaut n × t₁.

Nur eine Vorsicht: der Quotient darf nicht eins sein.

Sonst teilte man durch null. Ist r = 1, so sind alle Glieder gleich: die Summe ist n × t₁.

Exemple · Beispiel 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 → 1 × (2⁶ − 1) ÷ 1 = 63. Die Legende von den Reiskörnern auf dem Schachbrett: eine Zweierpotenz, minus eins.

1.6 · La somme infinieDie unendliche Summe

si |r| < 1 · wenn |r| < 1

S∞ = lim_n→+∞ Sₙ = t₁ / (1 − r)

Quoi · Was

On additionne une infinité de termes. Et on obtient un nombre fini.

Man addiert unendlich viele Glieder. Und erhält eine endliche Zahl.

Pourquoi · Warum

Si la raison est plus petite que 1 en taille, les termes rétrécissent très vite.

Au bout d'un moment, ce qu'on ajoute ne change plus rien.

Techniquement : dans la formule de 1.5, rⁿ s'écrase vers zéro. Il disparaît. Reste t₁/(1 − r).

Ist der Quotient dem Betrag nach kleiner als eins, so schrumpfen die Glieder sehr rasch.

Irgendwann ändert das, was man hinzufügt, nichts mehr.

Rechnerisch: in der Formel 1.5 strebt rⁿ gegen null und verschwindet. Es bleibt t₁/(1 − r).

Comment · Wie

On vérifie d'abord que |r| < 1. Toujours. C'est la porte d'entrée.

Si la condition n'est pas remplie, la somme n'existe pas. Il n'y a rien à donner.

Zuerst prüft man, ob |r| < 1 ist. Immer. Das ist die Eintrittstür.

Ist die Bedingung nicht erfüllt, so existiert die Summe nicht. Es gibt nichts anzugeben.

Exemple · Beispiel 1 + ½ + ¼ + ⅛ + … → 1 ÷ (1 − ½) = 2. Vous parcourez la moitié du chemin, puis la moitié du reste, indéfiniment : vous n'irez jamais plus loin que deux longueurs. Sie gehen den halben Weg, dann die Hälfte des Rests, endlos: über zwei Längen kommen Sie nie hinaus.

Pourquoi la case arithmétique est vide · Warum das arithmetische Feld leer bleibt

Une progression arithmétique ajoute toujours la même chose. Les termes ne rétrécissent jamais. La somme grossit sans fin. Il n'y a rien à écrire.

Eine arithmetische Folge addiert stets dasselbe. Die Glieder schrumpfen nie. Die Summe wächst endlos. Es gibt nichts zu schreiben.

2Les sommes de puissancesDie Potenzsummen

Français

Ici on change de sujet. On n'additionne plus une progression : on additionne les entiers, puis leurs carrés, puis leurs cubes.

Le petit k en haut de Sₙᵏ n'est pas une puissance. C'est une étiquette : « la version puissance k ».

Deutsch

Hier wechselt das Thema. Man addiert keine Folge mehr, sondern die ganzen Zahlen, dann ihre Quadrate, dann ihre Kuben.

Das kleine k oben bei Sₙᵏ ist keine Potenz, sondern eine Etikette: «die Fassung für die k-te Potenz».

Sₙ¹ = 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) / 2

Sₙ² = 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6

Sₙ³ = 1³ + 2³ + … + n³ = n²(n + 1)² / 4 = (Sₙ¹)²

Sₙ⁴ = 1⁴ + 2⁴ + … + n⁴ = n(n + 1)(2n + 1)(3n² + 3n − 1) / 30

Atelier · la formule contre le calcul brut Werkstatt · Formel gegen rohe Rechnung

n = 4

SommeSumme	Addition terme à termeGlied für Glied addiert	Par la formuleNach der Formel

Les deux colonnes coïncident toujours. C'est ça, une formule : le même résultat, sans faire le travail. Beide Spalten stimmen stets überein. Genau das ist eine Formel: dasselbe Ergebnis, ohne die Arbeit zu tun.

Quoi · Was

Entiers. Le rang, fois son voisin de droite, divisé par deux. C'est la formule 1.4 appliquée à 1, 2, 3, 4…

Carrés. Trois facteurs : n, puis n + 1, puis 2n + 1. On divise par 6.

Cubes. C'est le carré de la somme des entiers. Toujours.

Quatrièmes. Les trois mêmes facteurs que les carrés, plus un quatrième, divisé par 30.

Ganze Zahlen. Die Stelle mal ihren rechten Nachbarn, geteilt durch zwei. Es ist Formel 1.4, angewandt auf 1, 2, 3, 4…

Quadrate. Drei Faktoren: n, dann n + 1, dann 2n + 1. Man teilt durch 6.

Kuben. Es ist das Quadrat der Summe der Zahlen. Immer.

Vierte Potenzen. Dieselben drei Faktoren wie bei den Quadraten, plus ein vierter, geteilt durch 30.

Pourquoi · Warum

Ce ne sont plus des progressions : les écarts changent à chaque pas. Aucune astuce simple ne marche.

Mais une régularité demeure : la somme des puissances k donne toujours un polynôme de degré k + 1.

Son terme dominant vaut n^k+1/(k + 1), l'aire sous la courbe. Ces formules sont la version exacte d'une intégrale.

Es sind keine Folgen mehr: die Abstände ändern sich bei jedem Schritt. Kein einfacher Trick greift.

Doch eine Regelmässigkeit bleibt: die Summe der k-ten Potenzen ergibt stets ein Polynom vom Grad k + 1.

Sein führendes Glied ist n^k+1/(k + 1), die Fläche unter der Kurve. Diese Formeln sind die exakte Fassung eines Integrals.

Le plus joli · Das Schönste 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100 et 1 + 2 + 3 + 4 = 10 → 100 = 10². La somme des cubes est le carré de la somme des entiers. Die Summe der Kuben ist das Quadrat der Summe der Zahlen.

3Les sériesDie Reihen

Français

Une suite, c'est une liste. Une série, c'est ce qu'on obtient en additionnant cette liste jusqu'à l'infini.

Ce n'est pas la même chose. C'est la distinction centrale du chapitre.

Deutsch

Eine Folge ist eine Liste. Eine Reihe ist das, was man erhält, wenn man diese Liste bis ins Unendliche addiert.

Das ist nicht dasselbe. Es ist die zentrale Unterscheidung des Kapitels.

Laboratoire · voir une série converger ou partir Labor · sehen, wie eine Reihe konvergiert oder davonläuft

SérieReihe

r = 0.50

termesGlieder = 40

sommes partielles sₙTeilsummen sₙ limite théoriquetheoretischer Grenzwert

sₙ·

uₙ·

c quotientQuotient·

c racineWurzel·

3.1 · Ce que veut dire « converger »Was «konvergieren» heisst

Somme partielle · Teilsumme

sₙ = u₁ + u₂ + … + uₙ = Σ_k=1ⁿ u_k

Quoi · Was

On ne sait pas additionner une infinité de nombres. Alors on triche.

On additionne le 1ᵉʳ. Puis les 2 premiers. Puis les 3 premiers. Et ainsi de suite.

On obtient une nouvelle liste : celle des totaux intermédiaires.

Unendlich viele Zahlen zu addieren können wir nicht. Also behelfen wir uns.

Man addiert das 1. Glied. Dann die 2 ersten. Dann die 3 ersten. Und so fort.

Man erhält eine neue Liste: die der Zwischensummen.

Pourquoi · Warum

Parce que ce détour transforme un problème impossible en un problème connu.

« Combien vaut cette somme infinie ? » devient « vers quoi tend cette liste de totaux ? ».

Et ça, on sait le faire : c'est une limite.

Weil dieser Umweg ein unmögliches Problem in ein bekanntes verwandelt.

«Wie gross ist diese unendliche Summe?» wird zu «welchem Wert strebt diese Liste von Summen zu?».

Und das können wir: es ist ein Grenzwert.

Comment · Wie

Les totaux se stabilisent autour d'une valeur → la série converge. Cette valeur est sa somme.

Les totaux partent à l'infini ou oscillent sans se fixer → la série diverge. Il n'y a pas de somme.

Le laboratoire ci-dessus dessine exactement cette liste de totaux.

Die Summen pendeln sich auf einen Wert ein → die Reihe konvergiert. Dieser Wert ist ihre Summe.

Die Summen laufen ins Unendliche oder schwanken ohne Halt → die Reihe divergiert. Es gibt keine Summe.

Das Labor oben zeichnet genau diese Liste von Summen.

3.2 · Le critère de divergenceDas Divergenzkriterium

si u_k ne tend pas vers 0 quand k → +∞ ⟹ la série diverge strebt u_k nicht gegen 0 für k → +∞ ⟹ die Reihe divergiert

Quoi · Was

Le premier réflexe. Le test de trois secondes.

Der erste Reflex. Der Drei-Sekunden-Test.

Pourquoi · Warum

Si les termes ne deviennent pas minuscules, on ajoute sans arrêt des quantités non négligeables.

Le total ne peut pas se stabiliser. C'est du simple bon sens.

Werden die Glieder nicht winzig, so addiert man unablässig nicht vernachlässigbare Beträge.

Die Summe kann sich nicht einpendeln. Das ist schlichter gesunder Menschenverstand.

Comment · et c'est ici que tout le monde se trompe · Wie · und hier irren sich alle

Ce critère fonctionne dans un seul sens.

Termes qui ne tendent pas vers zéro → diverge. Certain.

Termes qui tendent vers zéro → on ne sait rien. Il faut continuer à chercher.

Dieses Kriterium wirkt nur in einer Richtung.

Glieder, die nicht gegen null streben → divergiert. Sicher.

Glieder, die gegen null streben → man weiss nichts. Man muss weitersuchen.

Le contre-exemple à connaître par cœur · Das Gegenbeispiel, das man auswendig kennt

1 + ½ + ⅓ + ¼ + ⅕ + … (série harmonique)
Les termes tendent bien vers zéro. Et pourtant la somme grandit sans limite. Elle est juste très lente : il faut des milliards de termes pour dépasser 20. Mais elle ne s'arrête jamais.
La phrase à retenir : tendre vers zéro est nécessaire, mais pas suffisant.
Essayez-la dans le laboratoire ci-dessus : la courbe monte toujours.

1 + ½ + ⅓ + ¼ + ⅕ + … (harmonische Reihe)
Die Glieder streben sehr wohl gegen null. Und dennoch wächst die Summe unbegrenzt. Sie ist bloss sehr langsam: es braucht Milliarden von Gliedern, um 20 zu überschreiten. Aber sie hört nie auf.
Der Merksatz: gegen null zu streben ist notwendig, aber nicht hinreichend.
Probieren Sie es im Labor oben: die Kurve steigt immer weiter.

3.3 · La convergence absolueDie absolute Konvergenz

Σ |u_k| converge ⟹ converge absolument ⟹ donc converge konvergiert ⟹ konvergiert absolut ⟹ also konvergiert sie

Quoi · Was

On efface tous les signes moins. On rend tous les termes positifs.

Si ça converge encore dans ces conditions, c'est du solide.

Man tilgt alle Minuszeichen. Man macht alle Glieder positiv.

Konvergiert es auch dann noch, so ist es solide.

Pourquoi · Warum

Les signes moins aident à converger : ils annulent une partie de ce qu'on vient d'ajouter.

Une série qui converge même privée de cette aide converge pour de bon.

Die Minuszeichen helfen beim Konvergieren: sie heben einen Teil des eben Addierten wieder auf.

Eine Reihe, die auch ohne diese Hilfe konvergiert, konvergiert wirklich.

Comment · Wie

Usage très pratique : les critères suivants n'acceptent que des termes positifs.

Votre série a des signes qui alternent ? Passez-la en valeurs absolues, puis testez.

Si ça converge : gagné, la série d'origine converge aussi.

Si ça diverge : attention, vous ne pouvez rien en conclure sur la série d'origine.

Sehr praktischer Nutzen: die folgenden Kriterien lassen nur positive Glieder zu.

Ihre Reihe hat wechselnde Vorzeichen? Gehen Sie zu den Beträgen über und prüfen Sie.

Konvergiert es: gewonnen, die ursprüngliche Reihe konvergiert ebenfalls.

Divergiert es: Vorsicht, über die ursprüngliche Reihe folgt daraus nichts.

Exemple · Beispiel 1 − ½ + ⅓ − ¼ + … ≈ 0,693. Mais en valeurs absolues, c'est la série harmonique : elle diverge. Cette série ne doit sa convergence qu'à l'alternance des signes. In Beträgen ist es die harmonische Reihe: sie divergiert. Diese Reihe verdankt ihre Konvergenz allein dem Vorzeichenwechsel.

3.4 · Le critère du quotient (d'Alembert)Das Quotientenkriterium

Termes positifs uniquement · Nur positive Glieder

c = lim_k→+∞ u_k+1 / u_k
c < 1 → converge / konvergiert · c = 1 → doute / Zweifel · c > 1 → diverge / divergiert

Quoi · Was

On compare chaque terme au précédent. On divise l'un par l'autre.

Cette division répond à une question simple : de combien la liste rétrécit-elle à chaque pas ?

Man vergleicht jedes Glied mit dem vorangehenden. Man teilt das eine durch das andere.

Diese Division beantwortet eine einfache Frage: um wie viel schrumpft die Liste bei jedem Schritt?

Pourquoi ça marche · Warum es funktioniert

Souvenez-vous de la somme géométrique infinie : elle converge si |r| < 1.

Ce critère demande : ma série se comporte-t-elle, à la longue, comme une géométrique ?

Et si oui, avec quelle raison ? Cette raison, c'est c.

On applique ensuite la règle des progressions géométriques. La même idée, recyclée.

Erinnern Sie sich an die unendliche geometrische Summe: sie konvergiert, wenn |r| < 1.

Dieses Kriterium fragt: verhält sich meine Reihe auf die Dauer wie eine geometrische?

Und wenn ja, mit welchem Quotienten? Dieser Quotient ist c.

Danach wendet man die Regel der geometrischen Folgen an. Dieselbe Idee, wiederverwertet.

Exemple · Beispiel 1 + 1 + ½ + ⅙ + 1/24 + … (inverses des factorielles). Le rapport vaut 1/(k + 1) → tend vers 0. Donc c = 0 < 1 : la série converge, sa somme vaut e. (Kehrwerte der Fakultäten). Das Verhältnis ist 1/(k + 1) → strebt gegen 0. Also c = 0 < 1: die Reihe konvergiert, ihre Summe ist e.

3.5 · Le critère de la racine (Cauchy)Das Wurzelkriterium

Termes positifs uniquement · Nur positive Glieder

c = lim_k→+∞ ᵏ√u_k
c < 1 → converge / konvergiert · c = 1 → doute / Zweifel · c > 1 → diverge / divergiert

Quoi · Was

Même conclusion, autre chemin.

On demande : si mon terme était une puissance k-ième, quelle en serait la base ?

Derselbe Schluss, ein anderer Weg.

Man fragt: wäre mein Glied eine k-te Potenz, welches wäre ihre Basis?

Comment choisir entre les deux · Wie man zwischen beiden wählt

Des factorielles ? Prenez le quotient : elles se simplifient magnifiquement.

Une grosse puissance k-ième ? Prenez la racine : elle l'annule d'un coup.

Bon à savoir : quand le quotient conclut, la racine conclut aussi et donne la même valeur.

L'inverse est faux. La racine est le plus puissant des deux outils.

Fakultäten? Nehmen Sie den Quotienten: sie kürzen sich herrlich weg.

Eine grosse k-te Potenz? Nehmen Sie die Wurzel: sie hebt sie auf einen Schlag auf.

Gut zu wissen: wo der Quotient entscheidet, entscheidet auch die Wurzel, mit demselben Wert.

Umgekehrt gilt das nicht. Die Wurzel ist das stärkere der beiden Werkzeuge.

Le cas c = 1 n'est pas rare · Der Fall c = 1 ist nicht selten

C'est celui des séries en 1/k, 1/k², 1/k³, précisément les plus utiles. Le quotient et la racine y donnent tous deux 1, donc rien du tout. Il faut la comparaison ou le critère intégral.
Retenez le résultat : en 1/k^a, ça converge si a > 1, ça diverge si a ≤ 1.

Es ist der Fall der Reihen 1/k, 1/k², 1/k³, gerade der nützlichsten. Quotient und Wurzel liefern beide 1, also gar nichts. Man braucht den Vergleich oder das Integralkriterium.
Merken Sie sich das Ergebnis: bei 1/k^a konvergiert es für a > 1 und divergiert für a ≤ 1.

4La méthodeDie Methode

On me donne une série. Que faire, et dans quel ordre. Ich erhalte eine Reihe. Was tun, und in welcher Reihenfolge.

Les termes tendent-ils vers 0 ?Streben die Glieder gegen 0?

non · nein → diverge. Terminé.divergiert. Fertig. oui · ja → on ne sait rien encore. Continuer.man weiss noch nichts. Weiter.

Est-ce une géométrique ?Ist es eine geometrische Reihe?

oui · ja → |r| < 1 : converge, somme t₁/(1 − r). Sinon : diverge.konvergiert, Summe t₁/(1 − r). Sonst: divergiert. non · nein → continuer.weiter.

Y a-t-il des signes négatifs ?Gibt es negative Vorzeichen?

oui · ja → passer en valeurs absolues.zu den Beträgen übergehen.

Que contient le terme ?Was enthält das Glied?

factoriellesFakultäten → critère du quotientQuotientenkriterium puissance k-ièmek-te Potenz → critère de la racineWurzelkriterium

Le critère donne c.Das Kriterium liefert c.

c < 1 → convergekonvergiert c > 1 → divergedivergiert c = 1 → comparer à 1/kᵃ : a > 1 converge, a ≤ 1 diverge.mit 1/kᵃ vergleichen: a > 1 konvergiert, a ≤ 1 divergiert.

5Les six erreursDie sechs Fehler

Confondre l'indice et l'exposant. En bas, un numéro de place. En haut, une multiplication répétée. Index und Exponent verwechseln. Unten eine Platznummer. Oben eine wiederholte Multiplikation.
Écrire n au lieu de n − 1. On compte les pas, pas les termes. Testez toujours sur n = 1. n statt n − 1 schreiben. Man zählt die Schritte, nicht die Glieder. Prüfen Sie stets bei n = 1.
Croire que « les termes tendent vers zéro » suffit. La série harmonique est là pour vous rappeler le contraire. Glauben, «die Glieder streben gegen null» genüge. Die harmonische Reihe erinnert Sie ans Gegenteil.
Confondre la suite et la série. La suite 1, ½, ¼… tend vers 0. La série 1 + ½ + ¼ + … tend vers 2. Folge und Reihe verwechseln. Die Folge 1, ½, ¼… strebt gegen 0. Die Reihe 1 + ½ + ¼ + … strebt gegen 2.
Appliquer la somme géométrique avec r = 1. On diviserait par zéro. Dans ce cas, la somme vaut n × t₁. Die geometrische Summe mit r = 1 anwenden. Man teilte durch null. In diesem Fall ist die Summe n × t₁.
Conclure quand c = 1. Le critère n'a rien dit. Une série sur deux tombe dans ce cas. Bei c = 1 einen Schluss ziehen. Das Kriterium hat nichts gesagt. Jede zweite Reihe fällt in diesen Fall.

6Se testerSich prüfen

Six questions. Réponse immédiate, avec l'explication. Sechs Fragen. Sofortige Antwort, mit Erklärung.

7Lexique FR / DEFachwortschatz

Français	Deutsch	RemarqueBemerkung
une suite	eine Folge	La liste elle-même.Die Liste selbst.
une série	eine Reihe	La somme de la liste. Ne pas confondre.Die Summe der Liste. Nicht verwechseln.
un terme	ein Glied	Un élément de la liste.Ein Element der Liste.
le rang	die Stelle · der Index	La position.Die Position.
la raison (arithm.)	die Differenz	L'allemand distingue les deux cas ; le français dit « raison » pour les deux.Das Deutsche unterscheidet beide Fälle; das Französische sagt für beide «raison».
la raison (géom.)	der Quotient	·
la somme partielle	die Teilsumme	Le total après n termes.Die Summe nach n Gliedern.
la limite	der Grenzwert	La valeur visée.Der angestrebte Wert.
converger / diverger	konvergieren / divergieren	·
la valeur absolue	der Betrag	Le nombre sans son signe.Die Zahl ohne Vorzeichen.
la racine k-ième	die k-te Wurzel	·
la puissance	die Potenz	Faux ami : Potenz, jamais Macht.Falscher Freund: Potenz, nie Macht.
la factorielle	die Fakultät	·
croissant / décroissant	steigend / fallend	·
la série harmonique	die harmonische Reihe	Le contre-exemple à connaître.Das Gegenbeispiel, das man kennt.
nécessaire / suffisant	notwendig / hinreichend	Le couple décisif du chapitre.Das entscheidende Paar des Kapitels.