E = mc²
La formule la plus célèbre du monde n’est pas une recette pour fabriquer de l’énergie à partir de rien. C’est un taux de change entre deux grandeurs qu’on croyait étrangères, la masse et l’énergie, avec c² comme facteur de conversion. Comprendre cette formule, c’est comprendre pourquoi elle n’explique ni la bombe ni le mouvement, et pourquoi la ligne que tout le monde récite n’est même pas l’équation complète.
0Les pièces de la formule
Trois symboles, une comptabilité. Chacun répond à une question précise, et le dernier, c², est celui que l’on comprend le plus mal.
| Pièce | Rôle |
|---|---|
| E | L’énergie de repos du corps, exprimée en joules (J). |
| m | La masse au repos du corps, exprimée en kilogrammes (kg). |
| c | La vitesse de la lumière dans le vide, 299 792 458 m/s : une valeur exacte depuis 1983, puisque le mètre est lui-même défini à partir d’elle. |
| c² | Le facteur de conversion entre les deux unités, environ 8,988 × 10¹⁶ m²/s². |
1Ce qu’Einstein a vraiment écrit
La formule que tout le monde récite n’est pas la phrase qu’Einstein a publiée en premier. Sa version d’origine tient en trois pages, et elle va dans l’autre sens.
Le quatrième article d’Einstein de l’année 1905, « Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig ? » (l’inertie d’un corps dépend-elle de son contenu en énergie ?), paraît dans les Annalen der Physik. Trois pages, une conclusion : si un corps émet une énergie L sous forme de rayonnement, sa masse diminue de L/c². La notation moderne E = mc² ne s’installe que dans les travaux ultérieurs.
Einstein ne part pas d’une masse qu’il faudrait convertir : il part d’un corps qui rayonne de la lumière, et il montre que ce rayonnement lui coûte de la masse. C’est l’inverse du récit populaire de la bombe, où l’on imagine de la masse qu’on « convertirait » d’un coup. Einstein termine son article en suggérant que les sels de radium, connus pour émettre spontanément de l’énergie, pourraient permettre de tester l’idée.
2L’expérience de pensée
L’argument d’Einstein ne suppose rien de plus que la relativité restreinte, publiée trois mois plus tôt. Il tient en une page.
Un corps immobile émet deux impulsions lumineuses identiques, dans deux directions opposées : son mouvement ne change pas, la symétrie des deux émissions se compense exactement. Vu depuis un référentiel en mouvement par rapport au corps, en revanche, l’effet Doppler rend les deux impulsions inégales, l’une est décalée vers le bleu, l’autre vers le rouge.
En écrivant le bilan d’énergie dans ce second référentiel, un terme apparaît qui a exactement la forme d’une énergie cinétique, celle d’un corps dont la masse aurait diminué de L/c². Le corps n’a pourtant rien fait d’autre qu’émettre de la lumière : c’est cette émission, et elle seule, qui impose la perte de masse. L’argument ne repose sur aucune hypothèse supplémentaire, seulement sur la relativité restreinte que le même Einstein venait de publier.
3Le taux de change
c² vaut environ 90 000 000 000 000 000 : convertir la moindre masse en joules donne un nombre vertigineux. Le laboratoire ci-dessous fait le calcul pour vous, avec des objets de tous les jours.
4Le défaut de masse, ou l’énergie ne vient de nulle part
Dans un noyau, la masse du tout est inférieure à la somme des masses des parties. Cette différence a un nom, et c’est la seule source réelle de l’énergie nucléaire.
Assemblez des protons et des neutrons en un noyau, et le noyau pèse moins que la somme de ses constituants séparés. La différence s’appelle le défaut de masse, et elle est exactement égale à l’énergie de liaison qui tient le noyau assemblé, convertie par c². On ne détruit pas de la matière : on descend l’escalier de l’énergie de liaison, et la marche descendue se paie en masse manquante. L’unité de masse atomique vaut 931,494 MeV/c².
C’est la seule mécanique derrière toute source d’énergie nucléaire, qu’il s’agisse de fusionner des noyaux légers ou d’en fissionner un lourd : dans les deux cas, l’état final pèse un peu moins que l’état initial, et cette perte de masse, multipliée par c², est l’énergie libérée. Le laboratoire ci-dessous compare cette perte, en proportion, à une réaction chimique ordinaire.
5La formule que personne ne récite
E = mc² n’est vraie que pour un corps au repos. C’est un cas particulier d’une relation plus large, presque jamais citée en dehors des manuels.
La relation complète s’écrit E² = (pc)² + (mc²)², où p est la quantité de mouvement. Pour un corps en mouvement, l’énergie totale s’écrit E = γmc², avec le facteur de Lorentz γ = 1 / racine(1 − v²/c²). Deux conséquences en découlent aussitôt. D’abord, le photon : sa masse est nulle et son énergie ne l’est pas, E = pc, ce que la seule formule E = mc² rendrait incompréhensible. Ensuite, l’énergie de repos mc² est un plancher, pas un total : l’énergie d’un corps en mouvement est toujours plus grande.
Quand un corps est immobile, sa quantité de mouvement p est nulle, et la relation complète se réduit exactement à E² = (mc²)², donc E = mc². La formule la plus citée du monde est le cas particulier d’une équation plus générale, le cas où rien ne bouge. C’est aussi pour cela qu’elle échoue à décrire le photon, qui, lui, ne s’arrête jamais.
6Ce que la formule ne dit pas
E = mc² n’explique pas la bombe atomique. Elle fait la comptabilité de l’énergie libérée, elle ne dit ni quels noyaux se cassent, ni comment.
Le mécanisme qui rend une bombe possible, c’est la fission, découverte expérimentalement par Otto Hahn et Fritz Strassmann fin 1938, puis interprétée par Lise Meitner et Otto Frisch au début de 1939, suivie de la réaction en chaîne. E = mc² permet de calculer combien d’énergie une fission libère, une fois qu’on sait qu’elle a lieu ; elle ne prédit ni l’existence de la fission, ni la manière de l’enclencher.
Einstein lui-même n’a pas travaillé au projet Manhattan. Son rôle se limite à une lettre adressée au président Roosevelt en août 1939, cosignée avec Leó Szilárd, qui alertait sur la possibilité d’une arme de ce type. Attribuer la bombe à sa formule, c’est confondre l’outil comptable et l’ingénierie qui l’a rendu exploitable : ni proces ni hagiographie ne rendent justice à cette distinction, elle est seulement factuelle.
7Où la formule travaille aujourd’hui
Trois lieux où E = mc² n’est pas une curiosité de manuel, mais un outil de travail quotidien, jusque dans votre propre corps.
La tomographie par émission de positons (le PET-scan) exploite l’annihilation : un positon et un électron se rencontrent, s’annihilent, et donnent deux photons de 511 keV chacun, exactement l’énergie de repos de l’électron. La machine d’hôpital mesure littéralement mc². Les accélérateurs de particules font l’inverse : ils convertissent de l’énergie cinétique en particules nouvelles, en masse fraîche.
Le fait le plus contre-intuitif reste celui-ci : la masse du proton vient pour l’essentiel de l’énergie de liaison de ses constituants, les quarks, dont la masse propre ne fournit que quelques pour cent du total. Autrement dit, presque toute la masse de votre corps est de l’énergie de liaison, pas de la matière au sens naïf du terme. C’est E = mc² lue à l’envers : ici, c’est l’énergie qui fabrique la masse.
8Les six malentendus
9Se tester
Huit questions, une seule bonne réponse à chaque fois. L’explication tombe après votre choix.
10Le lexique
| Terme | Sens |
|---|---|
| énergie de repos | l’énergie qu’un corps possède du seul fait de sa masse, quand il est immobile |
| masse au repos | la masse mesurée dans le référentiel où le corps est immobile ; c’est un invariant |
| masse relativiste | notion aujourd’hui abandonnée par les physiciens, qui faisait « croître » la masse avec la vitesse |
| facteur de Lorentz (γ) | coefficient qui mesure la dilatation du temps et de l’énergie à l’approche de c |
| quantité de mouvement (p) | grandeur qui combine masse et vitesse, conservée dans tout système isolé |
| référentiel | le point de vue, en mouvement ou non, depuis lequel on mesure une grandeur physique |
| invariant | une grandeur qui garde la même valeur dans tous les référentiels |
| unité de masse atomique (u) | unité de masse à l’échelle du noyau, définie à partir du carbone 12 |
| électronvolt (eV) | unité d’énergie à l’échelle atomique, l’énergie gagnée par un électron traversant un volt |
| défaut de masse | la différence entre la masse d’un noyau et la somme des masses de ses constituants séparés |
| énergie de liaison | l’énergie qu’il faudrait fournir pour séparer un noyau en ses constituants ; elle correspond au défaut de masse |
| fission | la scission d’un noyau lourd en noyaux plus légers, avec libération d’énergie |
| fusion | l’union de noyaux légers en un noyau plus lourd, avec libération d’énergie |
| chaîne proton-proton | la suite de réactions qui fusionne l’hydrogène en hélium au cœur du Soleil |
| annihilation | la rencontre d’une particule et de son antiparticule, qui convertit toute leur masse en rayonnement |
| positon | l’antiparticule de l’électron, de même masse et de charge opposée |
| photon | le quantum de lumière, sans masse, porteur d’énergie et de quantité de mouvement |
| antimatière | la matière composée d’antiparticules, symétrique de la matière ordinaire |
| joule (J) | l’unité d’énergie du Système international |
| kilotonne d’équivalent TNT | unité d’énergie utilisée pour les explosions, une kilotonne valant 4,184 × 10¹² joules |
| accélérateur | un instrument qui porte des particules à haute vitesse, pour convertir de l’énergie cinétique en matière nouvelle |
| relativité restreinte | la théorie d’Einstein publiée en 1905, qui unifie espace, temps, masse et énergie pour tout observateur en mouvement uniforme |