La sémantique de KripkeDie Kripke-Semantik
Que veut dire « nécessairement vrai » ? Depuis Kripke, la réponse tient en une image : vrai dans tous les mondes que l'on peut atteindre depuis le nôtre. Trois ingrédients (des mondes, des flèches, une liste de faits) suffisent à donner un sens exact à la nécessité, au savoir et au devoir. Was heisst «notwendigerweise wahr»? Seit Kripke passt die Antwort in ein Bild: wahr in allen Welten, die man von unserer aus erreichen kann. Drei Zutaten (Welten, Pfeile, eine Liste von Fakten) genügen, um Notwendigkeit, Wissen und Pflicht exakt zu deuten.
0Les symbolesDie Zeichen
La logique modale n'ajoute que deux signes à la logique classique : une boîte et un losange. Tout le reste sert à leur donner un sens. Voici le dictionnaire.
Die Modallogik fügt der klassischen Logik nur zwei Zeichen hinzu: ein Kästchen und eine Raute. Alles Übrige dient dazu, ihnen einen Sinn zu geben. Hier ist das Wörterbuch.
| Symbole | Français | Deutsch |
|---|---|---|
| p, q | Des propositions atomiques : les phrases les plus simples, vraies ou fausses. « Il pleut », « la porte est fermée ». | Atomare Aussagen: die einfachsten Sätze, wahr oder falsch. «Es regnet», «die Tür ist zu». |
| ¬, ∧, ∨, → | Les connecteurs classiques : non, et, ou, si… alors. Ils fonctionnent ici exactement comme d'habitude. | Die klassischen Junktoren: nicht, und, oder, wenn… dann. Sie funktionieren hier genau wie gewohnt. |
| □A | « Boîte A » : nécessairement A. La formule A est vraie dans tous les mondes accessibles. | «Box A»: notwendigerweise A. Die Formel A ist in allen erreichbaren Welten wahr. |
| ◇A | « Losange A » : possiblement A. La formule A est vraie dans au moins un monde accessible. | «Raute A»: möglicherweise A. Die Formel A ist in mindestens einer erreichbaren Welt wahr. |
| w, v | Des mondes possibles : des états complets des choses. Notre monde en est un parmi d'autres. | Mögliche Welten: vollständige Zustände der Dinge. Unsere Welt ist eine unter anderen. |
| W | L'ensemble de tous les mondes du modèle. Il en faut au moins un. | Die Menge aller Welten des Modells. Mindestens eine muss es geben. |
| R | La relation d'accessibilité : les flèches entre mondes. wRv se lit « depuis w, le monde v est accessible ». | Die Zugänglichkeitsrelation: die Pfeile zwischen Welten. wRv liest man «von w aus ist die Welt v erreichbar». |
| V(p) | La valuation : pour chaque proposition p, la liste des mondes où elle est vraie. | Die Belegung: für jede Aussage p die Liste der Welten, in denen sie wahr ist. |
| M = (W, R, V) | Le modèle de Kripke : les trois ingrédients réunis. Mondes, flèches, faits. | Das Kripke-Modell: die drei Zutaten vereint. Welten, Pfeile, Fakten. |
| M, w ⊨ A | « A est vraie au monde w dans le modèle M. » Le double tourniquet se lit « satisfait ». | «A ist in der Welt w des Modells M wahr.» Das doppelte Drehkreuz liest man «erfüllt». |
| ⊭ | Le même signe, barré : A n'est pas vraie à ce monde-là. | Dasselbe Zeichen, durchgestrichen: A ist in dieser Welt nicht wahr. |
| (W, R) | Le cadre : les mondes et les flèches, sans la valuation. C'est le squelette du modèle. | Der Rahmen: Welten und Pfeile, ohne Belegung. Das Skelett des Modells. |
| ⊤, ⊥ | Le vrai et le faux constants : ⊤ est vraie partout, ⊥ n'est vraie nulle part. | Das konstante Wahre und Falsche: ⊤ ist überall wahr, ⊥ nirgends. |
| K, T, D, 4, B, 5 | Des noms d'axiomes, puis de systèmes. Chacun met une exigence sur les flèches : c'est la section 5. | Namen von Axiomen, dann von Systemen. Jedes stellt eine Forderung an die Pfeile: das ist Abschnitt 5. |
1Les mondes possiblesDie möglichen Welten
« 2 + 2 = 4 » et « il pleut à Berne » sont peut-être vraies toutes les deux. Mais pas de la même façon.
La première ne pourrait pas être fausse. La seconde aurait très bien pu l'être : il suffit d'imaginer un autre cours des choses.
La logique classique ne voit pas cette différence. La logique modale est née pour la voir.
«2 + 2 = 4» und «es regnet in Bern» sind vielleicht beide wahr. Aber nicht auf dieselbe Weise.
Die erste könnte nicht falsch sein. Die zweite hätte es sehr wohl sein können: man muss sich nur einen anderen Lauf der Dinge vorstellen.
Die klassische Logik sieht diesen Unterschied nicht. Die Modallogik wurde geboren, um ihn zu sehen.
1.1 · Pourquoi une logique de plusWarum noch eine Logik
On veut pouvoir écrire « nécessairement A » et « possiblement A », et calculer avec.
Pour cela on ajoute deux opérateurs, □ et ◇, devant n'importe quelle formule.
Wir wollen «notwendigerweise A» und «möglicherweise A» schreiben und damit rechnen können.
Dafür setzen wir zwei Operatoren, □ und ◇, vor beliebige Formeln.
Parce qu'une table de vérité ne suffit plus. La vérité de « il pleut » ne dit pas si « nécessairement il pleut » est vraie.
L'idée qui débloque tout vient de Leibniz : nécessaire = vrai dans tous les mondes possibles. Kripke, vers 1960, en fait une définition mathématique en ajoutant les flèches entre mondes.
Weil eine Wahrheitstafel nicht mehr genügt. Die Wahrheit von «es regnet» sagt nicht, ob «notwendigerweise regnet es» wahr ist.
Die entscheidende Idee stammt von Leibniz: notwendig = wahr in allen möglichen Welten. Kripke macht daraus um 1960 eine mathematische Definition, indem er die Pfeile zwischen den Welten hinzufügt.
On dessine un petit univers : des ronds pour les mondes, des flèches pour dire quels mondes comptent depuis lequel, des lettres pour dire ce qui est vrai où.
Puis on évalue les formules monde par monde, avec quatre règles. C'est tout le chapitre.
Man zeichnet ein kleines Universum: Kreise für die Welten, Pfeile dafür, welche Welten von wo aus zählen, Buchstaben dafür, was wo wahr ist.
Dann wertet man die Formeln Welt für Welt aus, mit vier Regeln. Das ist das ganze Kapitel.
1.2 · Nécessaire et possibleNotwendig und möglich
« Possible que A » veut dire : il n'est pas nécessaire que non-A.
« Nécessaire que A » veut dire : il n'est pas possible que non-A. Chaque opérateur se définit avec l'autre.
«Möglich, dass A» heisst: es ist nicht notwendig, dass nicht-A.
«Notwendig, dass A» heisst: es ist nicht möglich, dass nicht-A. Jeder Operator lässt sich durch den anderen definieren.
C'est le même couple que « pour tout » et « il existe » en mathématiques : ∀ = ¬∃¬.
La boîte est un « pour tous les mondes accessibles », le losange un « il existe un monde accessible ». La dualité des quantificateurs devient la dualité des modalités.
Es ist dasselbe Paar wie «für alle» und «es gibt» in der Mathematik: ∀ = ¬∃¬.
Die Box ist ein «für alle erreichbaren Welten», die Raute ein «es gibt eine erreichbare Welt». Die Dualität der Quantoren wird zur Dualität der Modalitäten.
En pratique : pour nier une boîte, on la change en losange et on pousse la négation dedans. ¬□A ≡ ◇¬A.
Pour nier un losange : ¬◇A ≡ □¬A. Exactement comme on nie « tous » par « il en existe un qui ne ».
In der Praxis: um eine Box zu verneinen, macht man sie zur Raute und schiebt die Negation hinein. ¬□A ≡ ◇¬A.
Um eine Raute zu verneinen: ¬◇A ≡ □¬A. Genau wie man «alle» durch «es gibt eines, das nicht» verneint.
1.3 · Le modèle M = (W, R, V)Das Modell M = (W, R, V)
W dit quels mondes existent. R dit lesquels comptent depuis lequel : wRv signifie « quand je me tiens en w, v fait partie des alternatives que je considère ».
V dit les faits : pour chaque lettre p, dans quels mondes elle est vraie.
W sagt, welche Welten es gibt. R sagt, welche von wo aus zählen: wRv heisst «wenn ich in w stehe, gehört v zu den Alternativen, die ich betrachte».
V sagt die Fakten: für jeden Buchstaben p, in welchen Welten er wahr ist.
Les flèches sont la trouvaille de Kripke. Chez Leibniz, « nécessaire » voulait dire vrai dans tous les mondes, sans exception.
Avec R, chaque monde a son propre horizon d'alternatives. C'est ce réglage fin qui permet à la même machine de modéliser la nécessité, le savoir d'un agent, l'obligation ou le temps.
Die Pfeile sind Kripkes Kunstgriff. Bei Leibniz hiess «notwendig» wahr in allen Welten, ohne Ausnahme.
Mit R hat jede Welt ihren eigenen Horizont von Alternativen. Diese Feineinstellung erlaubt es derselben Maschine, Notwendigkeit, Wissen, Pflicht oder Zeit zu modellieren.
Pour construire un modèle : dessinez des ronds, tracez des flèches (une boucle est permise, aucune flèche aussi), écrivez dans chaque rond les lettres qui y sont vraies.
N'importe quel gribouillage de ce genre est un modèle de Kripke légitime. Le laboratoire de la section 3 vous en met un entre les mains.
Um ein Modell zu bauen: Kreise zeichnen, Pfeile ziehen (eine Schleife ist erlaubt, gar kein Pfeil auch), in jeden Kreis die dort wahren Buchstaben schreiben.
Jedes Gekritzel dieser Art ist ein legitimes Kripke-Modell. Das Labor in Abschnitt 3 gibt Ihnen eines in die Hand.
2La vérité dans un mondeDie Wahrheit in einer Welt
Quatre règles décident de tout. Deux recopient la logique classique, deux font voyager.
Vier Regeln entscheiden alles. Zwei übernehmen die klassische Logik, zwei lassen uns reisen.
M, w ⊨ A ∧ B ⟺ M, w ⊨ A et · und M, w ⊨ B
M, w ⊨ A → B ⟺ M, w ⊭ A ou · oder M, w ⊨ B
Un atome est vrai là où la valuation le dit, faux ailleurs. Rien de plus.
Non, et, ou, si… alors se calculent sur place, dans le monde où l'on se trouve, avec les tables de vérité habituelles.
Ein Atom ist dort wahr, wo die Belegung es sagt, sonst falsch. Mehr nicht.
Nicht, und, oder, wenn… dann werden an Ort und Stelle berechnet, in der Welt, in der man steht, mit den gewohnten Wahrheitstafeln.
La boîte traduit exactement l'intuition de départ : « nécessairement A » = A tient dans toutes les alternatives que ce monde considère.
Le losange traduit « rien n'exclut A » : au moins une alternative où A tient. Les flèches décident de qui doit rendre des comptes à qui.
Die Box übersetzt genau die Ausgangsintuition: «notwendigerweise A» = A gilt in allen Alternativen, die diese Welt betrachtet.
Die Raute übersetzt «nichts schliesst A aus»: mindestens eine Alternative, in der A gilt. Die Pfeile entscheiden, wer wem Rechenschaft schuldet.
3Explorer un modèleEin Modell erkunden
Voici un modèle à quatre mondes, entièrement à vous. Ajoutez ou retirez des flèches, changez les faits, choisissez une formule : chaque monde s'affiche en vert si elle y est vraie, en rouge sinon.
Cliquez un monde pour lire la justification. Trois expériences valent la peine : rendez un monde aveugle et évaluez □⊥. Faites échouer □p → p, puis réparez-le avec une boucle. Vérifiez que ◇p ∧ ◇¬p peut être vraie : possible ne contredit pas possible-que-non.
Hier ist ein Modell mit vier Welten, ganz für Sie. Fügen Sie Pfeile hinzu oder entfernen Sie sie, ändern Sie die Fakten, wählen Sie eine Formel: jede Welt wird grün, wenn sie dort wahr ist, sonst rot.
Klicken Sie eine Welt an, um die Begründung zu lesen. Drei Experimente lohnen sich: machen Sie eine Welt blind und werten Sie □⊥ aus. Lassen Sie □p → p scheitern und reparieren Sie es mit einer Schleife. Prüfen Sie, dass ◇p ∧ ◇¬p wahr sein kann: möglich widerspricht möglich-dass-nicht nicht.
Les faits (cliquer)Die Fakten (klicken)
Les flèches (cliquer)Die Pfeile (klicken)
4Une évaluation pas à pasEine Auswertung Schritt für Schritt
Évaluer une formule modale, c'est exécuter une récursion : on descend dans la formule, on voyage le long des flèches, on remonte les verdicts.
Ce laboratoire déroule la récursion sous vos yeux, sur un modèle fixe de trois mondes. Notez w3 : il est aveugle, et cela se voit dans les traces.
Eine modale Formel auszuwerten heisst, eine Rekursion auszuführen: man steigt in die Formel hinab, reist den Pfeilen entlang, trägt die Urteile zurück.
Dieses Labor rollt die Rekursion vor Ihren Augen ab, an einem festen Modell mit drei Welten. Beachten Sie w3: sie ist blind, und das sieht man in den Spuren.
5Cadres et axiomesRahmen und Axiome
Jusqu'ici, vraie ou fausse se jugeait dans un modèle. Montons d'un étage : une formule est valide sur un cadre (W, R) si elle est vraie chez tous les mondes, pour toutes les valuations possibles.
Le résultat le plus élégant du chapitre : les axiomes modaux célèbres correspondent un à un à des propriétés géométriques des flèches.
Bisher wurde wahr oder falsch in einem Modell beurteilt. Steigen wir eine Etage höher: eine Formel ist gültig auf einem Rahmen (W, R), wenn sie in allen Welten wahr ist, für alle möglichen Belegungen.
Das eleganteste Ergebnis des Kapitels: die berühmten modalen Axiome entsprechen eins zu eins geometrischen Eigenschaften der Pfeile.
K ne demande rien aux flèches : si tous les successeurs valident A → B et tous valident A, alors tous valident B. C'est du modus ponens distribué.
Toute logique modale normale contient K. Les axiomes suivants, eux, coûtent quelque chose.
K verlangt nichts von den Pfeilen: wenn alle Nachfolger A → B und alle A erfüllen, dann erfüllen alle B. Das ist verteilter Modus Ponens.
Jede normale Modallogik enthält K. Die folgenden Axiome hingegen kosten etwas.
Les systèmes s'empilent : S4 = K + T + 4. S5 = K + T + 5, et ses cadres sont exactement ceux où R est une relation d'équivalence (réflexive, symétrique, transitive).
Dans S5, les mondes se regroupent en blocs où tout le monde voit tout le monde : la nécessité y redevient « vrai partout dans le bloc », l'intuition de Leibniz retrouvée.
Die Systeme stapeln sich: S4 = K + T + 4. S5 = K + T + 5, und seine Rahmen sind genau jene, in denen R eine Äquivalenzrelation ist (reflexiv, symmetrisch, transitiv).
In S5 gruppieren sich die Welten zu Blöcken, in denen jede jede sieht: Notwendigkeit wird wieder «überall im Block wahr», die wiedergefundene Intuition von Leibniz.
Le laboratoire ci-dessous teste cette correspondance en direct. Le cadre de départ est une simple chaîne w1 → w2 → w3 : aucun axiome n'y survit. Activez une propriété, regardez les axiomes basculer au vert. Chaque échec vient avec son contre-exemple : la valuation exacte qui casse l'axiome.
Das Labor unten testet diese Korrespondenz live. Der Ausgangsrahmen ist eine simple Kette w1 → w2 → w3: kein Axiom überlebt dort. Schalten Sie eine Eigenschaft ein und sehen Sie zu, wie die Axiome auf Grün springen. Jeder Fehlschlag kommt mit seinem Gegenbeispiel: der genauen Belegung, die das Axiom bricht.
Propriétés du cadreEigenschaften des Rahmens
Verdicts sur ce cadreUrteile auf diesem Rahmen
6Les visages de la boîteDie Gesichter der Box
La force de la sémantique de Kripke est là : le même symbole □ change de métier selon ce qu'on décide que les mondes et les flèches représentent. La machine reste identique, seule l'interprétation bouge.
Darin liegt die Stärke der Kripke-Semantik: dasselbe Symbol □ wechselt den Beruf, je nachdem, was Welten und Pfeile darstellen sollen. Die Maschine bleibt dieselbe, nur die Deutung wandert.
| LectureLesart | □A | ◇A | Axiomes naturelsNatürliche Axiome |
|---|---|---|---|
| AléthiqueAlethisch | nécessairement Anotwendigerweise A | possiblement Amöglicherweise A | S5 |
| ÉpistémiqueEpistemisch | l'agent sait que Ader Agent weiss, dass A | A est compatible avec ce qu'il saitA ist mit seinem Wissen vereinbar | T, 4 (on ne sait que du vrai ; qui sait, sait qu'il sait) (man weiss nur Wahres; wer weiss, weiss, dass er weiss) |
| DéontiqueDeontisch | il est obligatoire que Aes ist geboten, dass A | il est permis que Aes ist erlaubt, dass A | D, surtout pas Tbloss nicht T |
| TemporelleTemporal | désormais toujours Avon nun an stets A | un jour Airgendwann A | 4 (l'avenir de l'avenir est l'avenir) (die Zukunft der Zukunft ist Zukunft) |
| ProuvabilitéBeweisbarkeit | A est démontrableA ist beweisbar | A est consistantA ist konsistent | 4, et non T (Gödel rôde)und nicht T (Gödel lauert) |
7La méthodeDie Methode
Face à « M, w ⊨ A ? », toujours la même marche à suivre.
Vor der Frage «M, w ⊨ A?» immer derselbe Ablauf.
8Les six erreursDie sechs Fehler
9Se testerSich prüfen
Huit questions, une seule bonne réponse à chaque fois. L'explication tombe après votre choix.
Acht Fragen, jeweils genau eine richtige Antwort. Die Erklärung erscheint nach Ihrer Wahl.
10Lexique FR/DEWortschatz FR/DE
| Français | Deutsch |
|---|---|
| la logique modale | die Modallogik |
| le monde possible | die mögliche Welt |
| la relation d'accessibilité | die Zugänglichkeitsrelation |
| la valuation | die Belegung |
| le modèle de Kripke | das Kripke-Modell |
| le cadre | der Rahmen |
| nécessaire | notwendig |
| possible | möglich |
| contingent | kontingent |
| l'opérateur modal | der Modaloperator |
| satisfaire (une formule) | (eine Formel) erfüllen |
| valide | gültig |
| satisfaisable | erfüllbar |
| le contre-modèle | das Gegenmodell |
| le successeur | der Nachfolger |
| le monde aveugle (sans successeur) | die blinde Welt (ohne Nachfolger) |
| réflexif | reflexiv |
| symétrique | symmetrisch |
| transitif | transitiv |
| sériel | seriell |
| euclidien | euklidisch |
| la relation d'équivalence | die Äquivalenzrelation |
| l'axiome | das Axiom |
| la théorie de la correspondance | die Korrespondenztheorie |
| la lecture épistémique / déontique | die epistemische / deontische Lesart |