Dérivées et primitivesAbleitungen und Stammfunktionen
Deux questions, une seule théorie. À quelle vitesse une courbe monte-t-elle ? C'est la dérivée. Quelle aire enferme-t-elle ? C'est l'intégrale. Et le théorème central du chapitre dit que l'une défait ce que l'autre fait. Zwei Fragen, eine einzige Theorie. Wie schnell steigt eine Kurve? Das ist die Ableitung. Welche Fläche schliesst sie ein? Das ist das Integral. Und der zentrale Satz des Kapitels sagt: das eine macht rückgängig, was das andere tut.
0Les symbolesDie Zeichen
Une formule n'est pas difficile. C'est une phrase écrite en abrégé. Voici le dictionnaire.
Eine Formel ist nicht schwierig. Sie ist ein abgekürzt geschriebener Satz. Hier ist das Wörterbuch.
| Symbole | Français | Deutsch |
|---|---|---|
| f(x) | La fonction : à chaque x, elle associe une valeur. La courbe qu'on dessine. | Die Funktion: jedem x ordnet sie einen Wert zu. Die Kurve, die man zeichnet. |
| f′(x) | « f prime » : la dérivée de f. C'est une nouvelle fonction, qui donne la pente de la courbe en chaque point. | «f Strich»: die Ableitung von f. Eine neue Funktion, die in jedem Punkt die Steigung der Kurve angibt. |
| Δx | « delta x » : un écart entre deux valeurs de x. Le grand triangle grec dit toujours « différence ». | «Delta x»: ein Abstand zwischen zwei x-Werten. Das grosse griechische Dreieck heisst stets «Differenz». |
| h | Un petit pas. Le même rôle que Δx, en plus court. Il est destiné à tendre vers zéro. | Ein kleiner Schritt. Dieselbe Rolle wie Δx, nur kürzer. Er ist dazu bestimmt, gegen null zu streben. |
| dy/dx | Autre écriture de f′. Elle rappelle d'où vient la dérivée : un quotient de deux différences devenues infimes. | Andere Schreibweise für f′. Sie erinnert daran, woher die Ableitung kommt: ein Quotient zweier winzig gewordener Differenzen. |
| lim | La valeur vers laquelle on se dirige quand h devient infiniment petit. On ne pose jamais h = 0, on s'en approche. | Der Grenzwert, dem man zustrebt, wenn h unendlich klein wird. Man setzt nie h = 0, man nähert sich. |
| F(x) | Une primitive de f : une fonction dont la dérivée redonne f. La majuscule signale le sens inverse. | Eine Stammfunktion von f: eine Funktion, deren Ableitung wieder f ergibt. Der Grossbuchstabe zeigt die Gegenrichtung an. |
| C | La constante d'intégration. Toute primitive est définie à une constante près : la dérivée d'une constante vaut zéro. | Die Integrationskonstante. Jede Stammfunktion ist nur bis auf eine Konstante bestimmt: die Ableitung einer Konstanten ist null. |
| ∫ f(x) dx | « l'intégrale de f » : l'ensemble des primitives de f. Le S allongé est un S de somme, on verra pourquoi. | «das Integral von f»: die Menge der Stammfunktionen von f. Das langgezogene S ist ein Summen-S, wir werden sehen warum. |
| ∫ₐᵇ f(x) dx | L'intégrale définie : un nombre. L'aire entre la courbe, l'axe des x et les deux bornes a et b. | Das bestimmte Integral: eine Zahl. Die Fläche zwischen der Kurve, der x-Achse und den beiden Grenzen a und b. |
| dx | La largeur infime d'une tranche. Il dit aussi par rapport à quelle variable on travaille. | Die winzige Breite eines Streifens. Es sagt auch, bezüglich welcher Variablen man arbeitet. |
| e | Le nombre d'Euler, environ 2,718. La base pour laquelle la fonction exponentielle est sa propre dérivée. | Die Eulersche Zahl, rund 2,718. Die Basis, für die die Exponentialfunktion ihre eigene Ableitung ist. |
| ln x | Le logarithme naturel : l'inverse de eˣ. Il répond à « e puissance combien donne x ? ». | Der natürliche Logarithmus: die Umkehrung von eˣ. Er beantwortet «e hoch wie viel ergibt x?». |
1La dérivéeDie Ableitung
Une droite a une pente : tant de hauteur gagnée par pas horizontal. Toujours la même.
Une courbe n'a pas une pente. Elle en a une à chaque point, et elle change sans cesse.
Toute la dérivation tient dans cette question : comment mesurer la pente d'une courbe en un point ?
Eine Gerade hat eine Steigung: so viel Höhe pro waagrechtem Schritt. Immer dieselbe.
Eine Kurve hat nicht eine Steigung. Sie hat in jedem Punkt eine, und sie ändert sich unaufhörlich.
Das ganze Ableiten steckt in dieser Frage: wie misst man die Steigung einer Kurve in einem Punkt?
1.1 · Le taux d'accroissementDer Differenzenquotient
On prend deux points de la courbe : l'un en a, l'autre un pas h plus loin.
On divise la montée par l'avancée. C'est la pente de la droite qui relie ces deux points.
Man nimmt zwei Punkte der Kurve: einen bei a, den anderen einen Schritt h weiter.
Man teilt den Anstieg durch den Fortschritt. Das ist die Steigung der Geraden durch diese beiden Punkte.
Parce qu'on ne sait mesurer que des pentes de droites.
Alors on triche : on remplace la courbe par une droite qui la traverse. C'est grossier, mais c'est un début.
Weil wir nur Steigungen von Geraden messen können.
Also behelfen wir uns: wir ersetzen die Kurve durch eine Gerade, die sie durchquert. Grob, aber ein Anfang.
Plus le pas h est petit, plus la droite colle à la courbe autour de a.
L'approximation s'améliore. Elle ne devient jamais exacte tant que h reste un vrai nombre.
Je kleiner der Schritt h, desto enger schmiegt sich die Gerade um a an die Kurve.
Die Näherung wird besser. Exakt wird sie nie, solange h eine echte Zahl bleibt.
Avec h = 0,1 : 2,1. Avec h = 0,01 : 2,01. Ça vise 2. Mit h = 0,1: 2,1. Mit h = 0,01: 2,01. Es zielt auf 2.
1.2 · La définition de la dérivéeDie Definition der Ableitung
On reprend le taux d'accroissement. Et on fait tendre le pas vers zéro.
La valeur limite est la dérivée. La sécante devient la tangente.
Man nimmt den Differenzenquotienten. Und lässt den Schritt gegen null streben.
Der Grenzwert ist die Ableitung. Die Sekante wird zur Tangente.
On ne peut pas poser h = 0 : on diviserait zéro par zéro.
La limite est l'outil qui contourne l'obstacle : on regarde où le quotient se dirige, sans jamais y mettre le pied.
C'est le même geste qu'au chapitre des séries. Une limite au secours d'un calcul impossible.
h = 0 setzen geht nicht: man teilte null durch null.
Der Grenzwert ist das Werkzeug, das das Hindernis umgeht: man schaut, wohin der Quotient strebt, ohne je dort anzukommen.
Es ist derselbe Griff wie im Kapitel über die Reihen. Ein Grenzwert rettet eine unmögliche Rechnung.
En pratique, on ne calcule presque jamais cette limite à la main.
On l'a calculée une fois pour toutes pour chaque fonction usuelle. Le résultat, c'est le tableau de la section 2.
La définition sert à comprendre le tableau, pas à le remplacer.
In der Praxis rechnet man diesen Grenzwert fast nie von Hand aus.
Man hat ihn ein für alle Mal für jede übliche Funktion berechnet. Das Ergebnis ist die Tabelle in Abschnitt 2.
Die Definition dient dazu, die Tabelle zu verstehen, nicht sie zu ersetzen.
1.3 · L'équation de la tangenteDie Tangentengleichung
La droite qui touche la courbe en a et qui a exactement sa pente à cet endroit.
Die Gerade, die die Kurve bei a berührt und dort genau ihre Steigung hat.
C'est une droite : il suffit d'un point et d'une pente.
Le point, c'est (a, f(a)). La pente, c'est f′(a). La formule ne dit rien d'autre.
Es ist eine Gerade: ein Punkt und eine Steigung genügen.
Der Punkt ist (a, f(a)). Die Steigung ist f′(a). Mehr sagt die Formel nicht.
Trois nombres à calculer, dans l'ordre : f(a), puis f′(x), puis f′(a).
On les pose dans la formule. C'est tout.
Drei Zahlen sind zu berechnen, der Reihe nach: f(a), dann f′(x), dann f′(a).
Man setzt sie in die Formel ein. Das ist alles.
y = 1 + 2(x − 1) = 2x − 1. Die Tangente an die Parabel im Punkt (1, 1).
2Les règles de calculDie Rechenregeln
Dériver ne demande aucune imagination. C'est un jeu de construction.
Un petit tableau de dérivées toutes faites, et quatre règles pour assembler les morceaux.
Toute fonction du formulaire se dérive avec ça.
Ableiten verlangt keinerlei Fantasie. Es ist ein Baukasten.
Eine kleine Tabelle fertiger Ableitungen und vier Regeln, um die Teile zusammenzusetzen.
Jede Funktion der Formelsammlung lässt sich damit ableiten.
2.1 · Les dérivées usuellesDie üblichen Ableitungen
| f(x) | f′(x) | À remarquer | Bemerkenswert |
|---|---|---|---|
| c | 0 | Une constante ne monte pas : pente nulle. | Eine Konstante steigt nicht: Steigung null. |
| xⁿ | n · xⁿ⁻¹ | L'exposant descend devant, puis diminue d'un. Vaut aussi pour n négatif ou fractionnaire. | Der Exponent steigt nach vorn herab und sinkt um eins. Gilt auch für negative und gebrochene n. |
| √x = x^½ | 1 / (2√x) | Cas particulier de la ligne du dessus, avec n = ½. | Sonderfall der Zeile darüber, mit n = ½. |
| 1/x = x⁻¹ | −1/x² | Même règle encore, avec n = −1. | Wieder dieselbe Regel, mit n = −1. |
| eˣ | eˣ | Sa propre dérivée. C'est la définition même du nombre e. | Ihre eigene Ableitung. Das ist geradezu die Definition der Zahl e. |
| ln x | 1/x | Le logarithme croît de plus en plus lentement : sa pente fond comme 1/x. | Der Logarithmus wächst immer langsamer: seine Steigung schmilzt wie 1/x. |
| sin x | cos x | Le cosinus dit à quelle vitesse le sinus monte. | Der Kosinus sagt, wie schnell der Sinus steigt. |
| cos x | −sin x | Attention au signe moins. C'est l'oubli le plus fréquent du chapitre. | Achtung auf das Minuszeichen. Das ist der häufigste Fehler des Kapitels. |
2.2 · Somme et facteur constantSumme und konstanter Faktor
On dérive terme par terme. Les constantes multiplicatives attendent devant.
Man leitet Glied für Glied ab. Multiplikative Konstanten warten vorn.
Les pentes s'additionnent. Si deux effets se superposent, leurs vitesses aussi.
Et tripler une fonction triple sa montée. Rien de plus profond.
Steigungen addieren sich. Überlagern sich zwei Wirkungen, so auch ihre Geschwindigkeiten.
Und wer eine Funktion verdreifacht, verdreifacht ihren Anstieg. Nichts Tieferes dahinter.
2.3 · Produit et quotientProdukt und Quotient
Un produit ne se dérive pas facteur par facteur.
Chaque facteur se dérive à son tour, l'autre restant intact, et on additionne les deux contributions.
Ein Produkt wird nicht Faktor für Faktor abgeleitet.
Jeder Faktor kommt einmal an die Reihe, der andere bleibt unberührt, und man addiert beide Beiträge.
Pensez à un rectangle dont les deux côtés grandissent.
Son aire gagne une bande le long d'un côté, et une bande le long de l'autre. Deux contributions, une somme.
Le quotient s'en déduit, avec un moins et le carré du dénominateur.
Denken Sie an ein Rechteck, dessen beide Seiten wachsen.
Seine Fläche gewinnt einen Streifen längs der einen Seite und einen längs der anderen. Zwei Beiträge, eine Summe.
Der Quotient folgt daraus, mit einem Minus und dem Quadrat des Nenners.
Nommez les morceaux avant de calculer : f = …, g = …, puis f′ et g′ à part.
Ensuite seulement, assemblez. La moitié des erreurs vient d'un assemblage fait de tête.
Dans le quotient, l'ordre du numérateur compte : f′g d'abord, moins fg′.
Benennen Sie die Teile vor dem Rechnen: f = …, g = …, dann f′ und g′ getrennt.
Erst danach zusammensetzen. Die Hälfte der Fehler stammt aus dem Zusammensetzen im Kopf.
Beim Quotienten zählt die Reihenfolge im Zähler: zuerst f′g, dann minus fg′.
( x / (x+1) )′ = [ 1·(x+1) − x·1 ] / (x+1)² = 1 / (x+1)².
2.4 · La règle de la chaîneDie Kettenregel
Une fonction dans une fonction : on dérive l'enveloppe, on laisse le contenu intact, puis on multiplie par la dérivée du contenu.
Eine Funktion in einer Funktion: man leitet die Hülle ab, lässt den Inhalt unberührt, dann multipliziert man mit der Ableitung des Inhalts.
Les vitesses se multiplient en cascade.
Si g avance trois fois plus vite que x, et f deux fois plus vite que g, alors f avance six fois plus vite que x.
Geschwindigkeiten multiplizieren sich in Kaskade.
Läuft g dreimal so schnell wie x, und f zweimal so schnell wie g, dann läuft f sechsmal so schnell wie x.
Repérez l'enveloppe et le contenu. Dites-le à voix haute : « sinus de quelque chose », « e puissance quelque chose ».
Dérivez l'enveloppe comme si le contenu était une simple lettre. Puis multipliez par la dérivée du contenu.
Le réflexe à installer : jamais de composée sans son facteur g′.
Erkennen Sie Hülle und Inhalt. Sagen Sie es laut: «Sinus von etwas», «e hoch etwas».
Leiten Sie die Hülle ab, als wäre der Inhalt ein blosser Buchstabe. Dann multiplizieren Sie mit der Ableitung des Inhalts.
Der Reflex, den es einzuüben gilt: nie eine Verkettung ohne ihren Faktor g′.
3Lire f avec f′f mit f′ lesen
Le signe de la dérivée raconte la forme de la courbe.
Positif : ça monte. Négatif : ça descend. Zéro : la courbe est momentanément plate.
Das Vorzeichen der Ableitung erzählt die Gestalt der Kurve.
Positiv: es geht aufwärts. Negativ: abwärts. Null: die Kurve ist für einen Moment flach.
La dérivée est la pente. Une pente positive, c'est une montée. Par définition.
Un maximum est un endroit où la montée s'arrête et où la descente commence : la dérivée y passe du plus au moins, en traversant zéro.
Die Ableitung ist die Steigung. Eine positive Steigung ist ein Anstieg. Per Definition.
Ein Maximum ist eine Stelle, wo der Anstieg endet und der Abstieg beginnt: die Ableitung wechselt dort von plus nach minus, durch die Null hindurch.
Pour trouver les extrema : résoudre f′(x) = 0, puis étudier le signe de f′ autour de chaque solution.
Le tableau de signes n'est pas une formalité. C'est lui qui décide : maximum, minimum, ou ni l'un ni l'autre.
Extrema finden: f′(x) = 0 lösen, dann das Vorzeichen von f′ um jede Lösung untersuchen.
Die Vorzeichentabelle ist keine Formalität. Sie entscheidet: Maximum, Minimum, oder keins von beiden.
4Les primitivesDie Stammfunktionen
C'est la dérivation à l'envers. On connaît la pente partout, on cherche la courbe.
Das Ableiten rückwärts. Man kennt überall die Steigung und sucht die Kurve.
Décalez une courbe vers le haut : toutes ses pentes restent les mêmes.
Une infinité de courbes ont donc la même dérivée. Elles ne diffèrent que d'une constante.
Le + C dit exactement cela : la réponse est une famille, pas une courbe.
Verschieben Sie eine Kurve nach oben: alle ihre Steigungen bleiben gleich.
Unendlich viele Kurven haben also dieselbe Ableitung. Sie unterscheiden sich nur um eine Konstante.
Das + C sagt genau dies: die Antwort ist eine Familie, nicht eine Kurve.
On lit le tableau des dérivées de droite à gauche, en ajustant les constantes.
Et on vérifie toujours dans le sens facile : dériver le résultat doit redonner f. Cette vérification est gratuite, faites-la à chaque fois.
Man liest die Ableitungstabelle von rechts nach links und passt die Konstanten an.
Und man prüft stets in der leichten Richtung: das Ergebnis abgeleitet muss wieder f ergeben. Diese Probe ist gratis, machen Sie sie jedes Mal.
| f(x) | ∫ f(x) dx | Vérification | Probe |
|---|---|---|---|
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹ / (n+1) + C | L'exposant monte d'un, puis divise. | Der Exponent steigt um eins und teilt dann. |
| 1/x | ln |x| + C | Le cas interdit n = −1 a sa propre ligne. La valeur absolue couvre les x négatifs. | Der verbotene Fall n = −1 hat seine eigene Zeile. Der Betrag deckt negative x ab. |
| eˣ | eˣ + C | Inchangé, dans les deux sens. | Unverändert, in beiden Richtungen. |
| sin x | −cos x + C | Le moins passe de l'autre côté : (−cos)′ = sin. | Das Minus wechselt die Seite: (−cos)′ = sin. |
| cos x | sin x + C | Sans moins, cette fois. | Diesmal ohne Minus. |
Vérification : (x³ + 2x² − 5x + C)′ = 3x² + 4x − 5. ✓ Probe: (x³ + 2x² − 5x + C)′ = 3x² + 4x − 5. ✓
5L'intégrale définieDas bestimmte Integral
Nouvelle question, en apparence sans rapport : quelle est l'aire entre une courbe et l'axe des x, de a à b ?
L'idée est la même que pour les séries : découper en morceaux qu'on sait mesurer, puis raffiner sans fin.
Neue Frage, scheinbar ohne Zusammenhang: welche Fläche liegt zwischen einer Kurve und der x-Achse, von a bis b?
Die Idee ist dieselbe wie bei den Reihen: in messbare Stücke zerlegen, dann endlos verfeinern.
5.1 · L'aire par tranchesDie Fläche in Streifen
On découpe l'intervalle en n tranches. Sur chacune, on pose un rectangle qui touche la courbe.
On additionne les aires des rectangles. Puis on affine : plus de tranches, plus fines.
Man zerlegt das Intervall in n Streifen. Auf jeden stellt man ein Rechteck, das die Kurve berührt.
Man addiert die Rechtecksflächen. Dann verfeinert man: mehr Streifen, schmalere.
On ne sait mesurer que des rectangles. Comme on ne savait mesurer que des pentes de droites.
Le détour est le même qu'au chapitre 1, dans l'autre sens : approcher, puis passer à la limite.
Et voilà pourquoi le signe ∫ est un S : c'est la somme Σ, étirée par le passage à la limite.
Wir können nur Rechtecke messen. So wie wir nur Steigungen von Geraden messen konnten.
Der Umweg ist derselbe wie in Kapitel 1, in der Gegenrichtung: annähern, dann zum Grenzwert übergehen.
Und darum ist das Zeichen ∫ ein S: es ist die Summe Σ, vom Grenzübergang langgezogen.
5.2 · Le théorème fondamentalDer Hauptsatz
L'aire sous la courbe se calcule sans aucun rectangle.
On prend une primitive, on l'évalue aux deux bornes, on soustrait. C'est tout.
Die Fläche unter der Kurve wird ganz ohne Rechtecke berechnet.
Man nimmt eine Stammfunktion, wertet sie an beiden Grenzen aus, subtrahiert. Das ist alles.
Deux problèmes sans lien apparent, la pente et l'aire, se révèlent inverses l'un de l'autre.
L'aire accumulée sous f grandit exactement à la vitesse f : dériver l'aire redonne la fonction.
C'est pour cela que le + C ne gêne pas : dans F(b) − F(a), la constante s'annule d'elle-même.
Zwei scheinbar unverbundene Probleme, Steigung und Fläche, erweisen sich als Umkehrungen voneinander.
Die unter f angesammelte Fläche wächst genau mit der Geschwindigkeit f: die Fläche abgeleitet ergibt wieder die Funktion.
Darum stört das + C nicht: in F(b) − F(a) hebt sich die Konstante von selbst auf.
Trois gestes : trouver F, calculer F(b), calculer F(a). On note le tout [F(x)]ₐᵇ.
Attention au sens : l'aire sous l'axe compte négativement. Une intégrale peut être négative ou nulle sans que la surface visible soit nulle.
Drei Handgriffe: F finden, F(b) berechnen, F(a) berechnen. Man notiert das Ganze [F(x)]ₐᵇ.
Achtung auf das Vorzeichen: Fläche unter der Achse zählt negativ. Ein Integral kann negativ oder null sein, ohne dass die sichtbare Fläche null wäre.
Le tiers exact que le laboratoire ci-dessus approche par rectangles. Genau das Drittel, das das Labor oben mit Rechtecken annähert.
6La méthodeDie Methode
On me demande de dériver. Dans quel ordre regarder. Ich soll ableiten. In welcher Reihenfolge schauen.
7Les six erreursDie sechs Fehler
- Dériver un produit facteur par facteur. (f·g)′ n'est pas f′·g′. Règle du rectangle : deux contributions, une somme. Ein Produkt Faktor für Faktor ableiten. (f·g)′ ist nicht f′·g′. Rechtecksregel: zwei Beiträge, eine Summe.
- Oublier le facteur g′ dans une composée. [sin(x²)]′ = cos(x²) · 2x, jamais cos(x²) tout court. Den Faktor g′ in einer Verkettung vergessen. [sin(x²)]′ = cos(x²) · 2x, nie bloss cos(x²).
- Conclure « extremum » dès que f′(a) = 0. x³ a une dérivée nulle en 0 et aucun extremum. Le signe autour du point décide. Bei f′(a) = 0 sofort «Extremum» schliessen. x³ hat bei 0 eine Nullableitung und kein Extremum. Das Vorzeichen um die Stelle entscheidet.
- Oublier le + C. Une primitive sans + C n'est qu'un représentant de la famille. En intégrale définie, en revanche, pas de C. Das + C vergessen. Eine Stammfunktion ohne + C ist nur ein Vertreter der Familie. Beim bestimmten Integral hingegen: kein C.
- Intégrer 1/x avec la règle des puissances. n = −1 est le cas interdit : diviser par n + 1 = 0. La réponse est ln |x| + C. 1/x mit der Potenzregel integrieren. n = −1 ist der verbotene Fall: Teilen durch n + 1 = 0. Die Antwort ist ln |x| + C.
- Confondre le signe de cos′ et de ∫ sin. (cos x)′ = −sin x, et ∫ sin x dx = −cos x + C. Le moins vit des deux côtés, pas au même endroit. Das Vorzeichen bei cos′ und ∫ sin verwechseln. (cos x)′ = −sin x, und ∫ sin x dx = −cos x + C. Das Minus lebt auf beiden Seiten, aber nicht am selben Ort.
8Se testerSich prüfen
Six questions. Réponse immédiate, avec l'explication. Sechs Fragen. Sofortige Antwort, mit Erklärung.
9Lexique FR / DEFachwortschatz
| Français | Deutsch | RemarqueBemerkung |
|---|---|---|
| dériver | ableiten | Le verbe du chapitre.Das Verb des Kapitels. |
| la dérivée | die Ableitung | · |
| la pente | die Steigung | Ce que la dérivée mesure.Was die Ableitung misst. |
| le taux d'accroissement | der Differenzenquotient | L'allemand dit ce que c'est : un quotient de différences.Das Deutsche sagt, was es ist: ein Quotient von Differenzen. |
| la tangente / la sécante | die Tangente / die Sekante | · |
| la règle du produit | die Produktregel | · |
| la règle du quotient | die Quotientenregel | · |
| la règle de la chaîne | die Kettenregel | La composée : enveloppe fois contenu dérivé.Die Verkettung: Hülle mal abgeleiteter Inhalt. |
| croissant / décroissant | steigend / fallend | · |
| un extremum, un maximum, un minimum | ein Extremum, ein Maximum, ein Minimum | · |
| la primitive | die Stammfunktion | Littéralement « fonction souche » : celle dont f descend.Wörtlich die Funktion, von der f abstammt. |
| l'intégrale (définie) | das (bestimmte) Integral | · |
| la borne | die Grenze | a et b, les bouts de l'intervalle.a und b, die Enden des Intervalls. |
| l'aire | der Flächeninhalt | · |
| la constante d'intégration | die Integrationskonstante | Le fameux + C.Das berühmte + C. |
| le théorème fondamental | der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung | Le pont entre les deux moitiés du chapitre.Die Brücke zwischen den beiden Hälften des Kapitels. |
Voir aussi la masterclasse Suites, sommes et séries : la limite, l'outil commun aux deux chapitres, y est introduite pas à pas. Siehe auch die Masterclass Folgen, Summen und Reihen: der Grenzwert, das gemeinsame Werkzeug beider Kapitel, wird dort Schritt für Schritt eingeführt.