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Les logiques modales : de K à S5Die Modallogiken: von K bis S5

Le volet 1 (la sémantique de Kripke) donnait le sens des formules. Celui-ci donne les lois : quels axiomes choisir, quels systèmes ils engendrent, et pourquoi il n'existe pas une logique modale mais une échelle entière, de la minimale K à la confortable S5. Teil 1 (die Kripke-Semantik) gab den Formeln ihren Sinn. Dieser Teil gibt die Gesetze: welche Axiome man wählt, welche Systeme sie erzeugen, und warum es nicht die eine Modallogik gibt, sondern eine ganze Leiter, vom minimalen K bis zum komfortablen S5.

0Les symbolesDie Zeichen

Français

Aux signes du volet 1 s'ajoutent des noms d'axiomes, une règle, et les opérateurs des lectures spécialisées.

Deutsch

Zu den Zeichen aus Teil 1 kommen Axiomnamen, eine Regel und die Operatoren der spezialisierten Lesarten hinzu.

Symbole	Français	Deutsch
□A, ◇A	Nécessairement A, possiblement A. Le couple du volet 1, dual : ◇A ≡ ¬□¬A.	Notwendigerweise A, möglicherweise A. Das Paar aus Teil 1, dual: ◇A ≡ ¬□¬A.
K	L'axiome de distribution □(A→B)→(□A→□B), et le système minimal qui le porte. K comme Kripke.	Das Verteilungsaxiom □(A→B)→(□A→□B) und das minimale System, das es trägt. K wie Kripke.
RN	La règle de nécessitation : de « A est un théorème », inférer « □A est un théorème ».	Die Notwendigkeitsregel: aus «A ist ein Theorem» schliesse «□A ist ein Theorem».
D, T, 4, B, 5	Les cinq axiomes optionnels. Chacun se paie avec une propriété des flèches (volet 1, section 5).	Die fünf optionalen Axiome. Jedes wird mit einer Eigenschaft der Pfeile bezahlt (Teil 1, Abschnitt 5).
S4, S5	Les systèmes empilés : S4 = K + T + 4, S5 = K + T + 5. Les deux vedettes du chapitre.	Die gestapelten Systeme: S4 = K + T + 4, S5 = K + T + 5. Die beiden Stars des Kapitels.
⊢	« Est un théorème de » : S4 ⊢ A dit que A se démontre dans S4. Un seul tourniquet : syntaxe, pas sémantique.	«Ist ein Theorem von»: S4 ⊢ A sagt, dass A in S4 beweisbar ist. Ein einfaches Drehkreuz: Syntax, nicht Semantik.
O, P, I, F	La lecture déontique : obligatoire, permis, interdit, facultatif.	Die deontische Lesart: geboten, erlaubt, verboten, freigestellt.
Cᵢ A	La lecture épistémique : l'agent i connaît A. La connaissance commune d'un groupe s'écrit CK.	Die epistemische Lesart: Agent i weiss A. Das gemeinsame Wissen einer Gruppe schreibt man CK.
G, F, X, U	La lecture temporelle : toujours désormais (G), un jour (F), demain (X), jusqu'à ce que (U).	Die temporale Lesart: von nun an immer (G), irgendwann (F), morgen (X), bis (U).
[a]p, ⟨a⟩p	La lecture dynamique : p vaut après toute exécution de l'action a ; il existe une exécution de a menant à p.	Die dynamische Lesart: p gilt nach jeder Ausführung der Aktion a; es gibt eine Ausführung von a, die zu p führt.
RE, RM, RR	Les règles des familles plus larges que les logiques normales : section 6.	Die Regeln der Familien, die weiter sind als die normalen Logiken: Abschnitt 6.

Le piège n° 1 · Die Falle Nr. 1

« Le système K », « l'axiome T », « la logique S5 » : ces noms désignent des paquets de lois, pas des vérités. Choisir un système, c'est choisir ce que l'on veut que □ veuille dire. Il n'y a pas de bon choix absolu, il y a un bon choix par lecture.

«Das System K», «das Axiom T», «die Logik S5»: diese Namen bezeichnen Gesetzespakete, keine Wahrheiten. Ein System zu wählen heisst zu wählen, was □ bedeuten soll. Es gibt keine absolut richtige Wahl, es gibt eine richtige Wahl pro Lesart.

1Le carré aléthiqueDas alethische Quadrat

Français

La lecture d'origine, celle des philosophes : □ dit « nécessaire », ◇ dit « possible ». Quatre modalités en tout, et un jeu précis de négations pour passer de l'une à l'autre.

Deutsch

Die ursprüngliche Lesart, die der Philosophen: □ heisst «notwendig», ◇ heisst «möglich». Vier Modalitäten insgesamt, und ein präzises Spiel von Negationen, um von einer zur anderen zu gelangen.

1.1 · Les quatre modalitésDie vier Modalitäten

Les quatre modalités · Die vier Modalitäten

□A nécessaire · notwendig · □¬A impossible · unmöglich
◇A possible · möglich · ◇¬A ≡ ¬□A contingent · kontingent

Quoi · Was

Nécessaire : ce qui ne peut pas ne pas être vrai. Impossible : ce qui ne peut pas être vrai.

Possible : ce qui peut être vrai. Contingent : ce qui peut être faux. Tout tient avec □, ◇ et la négation.

Notwendig: was nicht falsch sein kann. Unmöglich: was nicht wahr sein kann.

Möglich: was wahr sein kann. Kontingent: was falsch sein kann. Alles lässt sich mit □, ◇ und der Negation ausdrücken.

Pourquoi · Warum

Parce que la place de la négation change tout. « Il n'est pas nécessaire que les élèves travaillent » laisse une échappatoire ; « il est nécessaire que les élèves ne travaillent pas » interdit le travail.

La langue courante brouille ces nuances. Le formalisme les fige : ¬□A n'est pas □¬A.

Weil der Ort der Negation alles ändert. «Es ist nicht notwendig, dass die Schüler arbeiten» lässt einen Ausweg; «es ist notwendig, dass die Schüler nicht arbeiten» verbietet die Arbeit.

Die Alltagssprache verwischt diese Nuancen. Der Formalismus friert sie ein: ¬□A ist nicht □¬A.

1.2 · Le carré des oppositionsDas Quadrat der Gegensätze

Français

Les quatre modalités se rangent aux coins d'un carré hérité d'Aristote. Cliquez un coin : ses équivalences, son exemple et ses relations aux trois autres s'affichent.

Deutsch

Die vier Modalitäten stehen an den Ecken eines von Aristoteles ererbten Quadrats. Klicken Sie eine Ecke: ihre Äquivalenzen, ihr Beispiel und ihre Beziehungen zu den drei anderen erscheinen.

Laboratoire · le carré cliquableLabor · das klickbare Quadrat

ModalitéModalität·

ÉquivalencesÄquivalenzen·

Exemple · Beispiel Avec A = « les élèves travaillent » : ¬□A dit « il n'est pas nécessaire qu'ils travaillent » (contingence de A, un relâchement). □¬A dit « il est nécessaire qu'ils ne travaillent pas » (impossibilité, une interdiction). Deux phrases presque jumelles en français, deux formules sans rapport. Mit A = «die Schüler arbeiten»: ¬□A sagt «es ist nicht notwendig, dass sie arbeiten» (Kontingenz von A, eine Lockerung). □¬A sagt «es ist notwendig, dass sie nicht arbeiten» (Unmöglichkeit, ein Verbot). Zwei fast gleiche Sätze im Deutschen, zwei Formeln ohne Zusammenhang.

2Axiomes et nécessitationAxiome und Necessitation

2.1 · K et la règle de nécessitationK und die Notwendigkeitsregel

L'axiome K · Das Axiom K

□(A → B) → (□A → □B)

La règle de nécessitation RN · Die Notwendigkeitsregel RN

si · wenn ⊢ A alors · dann ⊢ □A

Quoi · Was

K dit que la nécessité respecte le modus ponens : si l'implication est nécessaire et l'antécédent aussi, le conséquent l'est.

RN dit que les théorèmes de la logique sont nécessaires : ce qui est démontrable sans hypothèse vaut dans tous les mondes.

K sagt, dass die Notwendigkeit den Modus Ponens respektiert: ist die Implikation notwendig und das Antezedens auch, dann auch das Konsequens.

RN sagt, dass die Theoreme der Logik notwendig sind: was ohne Annahme beweisbar ist, gilt in allen Welten.

Pourquoi · Warum

Parce que c'est le strict minimum pour que □ mérite son nom, et exactement ce que la sémantique de Kripke valide gratuitement : K et RN tiennent sur tous les cadres, sans aucune condition sur les flèches.

Le système K est donc le rez-de-chaussée : tout ce qu'il prouve, toute logique modale normale le prouve aussi.

Weil das das strikte Minimum ist, damit □ seinen Namen verdient, und genau das, was die Kripke-Semantik gratis liefert: K und RN gelten auf allen Rahmen, ohne jede Bedingung an die Pfeile.

Das System K ist also das Erdgeschoss: alles, was es beweist, beweist jede normale Modallogik ebenfalls.

Attention · Achtung

RN n'est pas la formule A → □A. La règle part d'un théorème, vrai partout par nature, et le déclare nécessaire. La formule, elle, prendrait n'importe quelle vérité d'un monde (« il pleut ») et la rendrait nécessaire : absurde, et invalide dès qu'un monde en voit un autre différent.

RN ist nicht die Formel A → □A. Die Regel geht von einem Theorem aus, das von Natur aus überall wahr ist, und erklärt es für notwendig. Die Formel dagegen nähme jede beliebige Wahrheit einer Welt («es regnet») und machte sie notwendig: absurd, und ungültig, sobald eine Welt eine andersartige sieht.

2.2 · Les cinq axiomes optionnelsDie fünf optionalen Axiome

Français

Cinq renforts au choix. Le volet 1 a montré leur prix sémantique : chacun correspond à une propriété des flèches. Les revoici côté syntaxe, avec leur lecture en une phrase.

Deutsch

Fünf Verstärkungen zur Auswahl. Teil 1 hat ihren semantischen Preis gezeigt: jedes entspricht einer Eigenschaft der Pfeile. Hier sind sie wieder, von der Syntaxseite, mit ihrer Lesart in einem Satz.

D · la nécessité implique la possibilité · Notwendigkeit impliziert Möglichkeit

□A → ◇A · cadres sériels · serielle Rahmen

T · le nécessaire est vrai · das Notwendige ist wahr

□A → A · cadres réflexifs · reflexive Rahmen · variante : A → ◇A

4 · le nécessaire est nécessairement nécessaire · das Notwendige ist notwendig notwendig

□A → □□A · cadres transitifs · transitive Rahmen

B · le vrai est nécessairement possible · das Wahre ist notwendig möglich

A → □◇A · cadres symétriques · symmetrische Rahmen · B comme Brouwer

5 · le possible est nécessairement possible · das Mögliche ist notwendig möglich

◇A → □◇A · cadres euclidiens · euklidische Rahmen

Comment · Wie

On compose son système comme un menu : K obligatoire, puis les axiomes que la lecture visée rend plausibles.

Les combinaisons utiles ont reçu des noms : K + D = D, K + T = T, T + 4 = S4, T + B = B, T + 5 = S5. La section suivante les met en ordre.

Man stellt sein System wie ein Menü zusammen: K ist Pflicht, dann die Axiome, die die angezielte Lesart plausibel macht.

Die nützlichen Kombinationen haben Namen bekommen: K + D = D, K + T = T, T + 4 = S4, T + B = B, T + 5 = S5. Der nächste Abschnitt ordnet sie.

3L'échelle des systèmesDie Leiter der Systeme

Français

Les systèmes s'emboîtent du plus faible au plus fort : K en bas, S5 au sommet. Monter d'un échelon, c'est prouver plus de théorèmes, et valoir sur moins de cadres. Cliquez un système.

Deutsch

Die Systeme schachteln sich vom schwächsten zum stärksten: K unten, S5 an der Spitze. Eine Sprosse hinaufzusteigen heisst, mehr Theoreme zu beweisen und auf weniger Rahmen zu gelten. Klicken Sie ein System.

Laboratoire · l'échelle interactiveLabor · die interaktive Leiter

SystèmeSystem·

Axiomes·

CadresRahmen·

Prouve, par exempleBeweist zum Beispiel·

Ne prouve pasBeweist nicht·

Pourquoi · Warum

Pourquoi S5 est-elle si confortable ? Parce que ses cadres sont les relations d'équivalence : dans un bloc, tout le monde voit tout le monde, et les empilements de modalités s'effondrent. □◇□A y équivaut à □A.

Et pourquoi ne pas la prendre toujours ? Parce que certaines lectures la contredisent : le savoir n'est pas symétrique, l'obligation n'est pas réflexive. L'échelle existe parce que les usages diffèrent.

Warum ist S5 so komfortabel? Weil seine Rahmen die Äquivalenzrelationen sind: in einem Block sieht jede Welt jede, und die Stapel von Modalitäten fallen zusammen. □◇□A ist dort äquivalent zu □A.

Und warum nimmt man es nicht immer? Weil manche Lesarten ihm widersprechen: Wissen ist nicht symmetrisch, Pflicht ist nicht reflexiv. Die Leiter existiert, weil die Verwendungen sich unterscheiden.

4Le zoo des modalitésDer Zoo der Modalitäten

Français

La même mécanique se décline en familles entières, chacune avec ses opérateurs et son système de prédilection. C'est le grand catalogue des logiques modales.

Deutsch

Dieselbe Mechanik entfaltet sich in ganzen Familien, jede mit ihren Operatoren und ihrem bevorzugten System. Das ist der grosse Katalog der Modallogiken.

FamilleFamilie	OpérateursOperatoren	On litMan liest	Système usuelÜbliches System
AléthiqueAlethisch	□, ◇	nécessaire, possible, contingent, impossiblenotwendig, möglich, kontingent, unmöglich	S5
ÉpistémiqueEpistemisch	Cᵢ, CK	l'agent i sait ; le groupe sait en communAgent i weiss; die Gruppe weiss gemeinsam	S4 (voire S5 idéalisé)(oder idealisiert S5)
DoxastiqueDoxastisch	B, CB	l'agent croit ; croyance commune. Croire n'est pas savoir : pas de Tder Agent glaubt; gemeinsamer Glaube. Glauben ist nicht Wissen: kein T	KD45
DéontiqueDeontisch	O, P, I, F	obligatoire, permis, interdit, facultatifgeboten, erlaubt, verboten, freigestellt	D
TemporelleTemporal	G, F, X, U, H	toujours désormais, un jour, demain, jusqu'à ce que, toujours dans le passévon nun an immer, irgendwann, morgen, bis, in der Vergangenheit stets	S4 et parentesund Verwandte
ContrefactuelleKontrafaktisch	A □→ B	si A était vrai, B le serait (sachant que A ne l'est pas)wäre A wahr, so auch B (wobei A nicht wahr ist)	logiques des sphèresSphärenlogiken
DynamiqueDynamisch	[a], ⟨a⟩	après toute exécution de a ; après quelque exécution de anach jeder Ausführung von a; nach irgendeiner Ausführung von a	PDL

Exemple · Beispiel Une flèche par lecture : en épistémique, wRv dit « v est compatible avec ce que l'agent sait en w ». En déontique, « v est un monde où toutes les normes de w sont respectées ». En temporel, « v est plus tard que w ». Le formalisme du volet 1 ne bouge pas d'un trait : seule la légende des flèches change. Ein Pfeil pro Lesart: epistemisch sagt wRv «v ist mit dem Wissen des Agenten in w vereinbar». Deontisch: «v ist eine Welt, in der alle Normen von w eingehalten werden». Temporal: «v liegt später als w». Der Formalismus aus Teil 1 ändert sich um keinen Strich: nur die Legende der Pfeile wechselt.

5Le chercheur de contre-modèlesDer Gegenmodell-Sucher

Français

Comment prouve-t-on qu'un système ne démontre pas une formule ? On exhibe un contre-modèle : un cadre de la bonne classe et une valuation qui la rendent fausse quelque part.

Cette machine le fait par force brute : elle essaie tous les cadres de 1 à 3 mondes de la classe choisie, toutes les valuations, et affiche le premier contre-modèle trouvé. Essayez T sur « tous les cadres », puis sur les réflexifs : le contre-modèle disparaît, exactement comme le volet 1 le promettait.

Deutsch

Wie beweist man, dass ein System eine Formel nicht herleitet? Man zeigt ein Gegenmodell vor: einen Rahmen der richtigen Klasse und eine Belegung, die sie irgendwo falsch machen.

Diese Maschine tut das mit roher Gewalt: sie probiert alle Rahmen mit 1 bis 3 Welten der gewählten Klasse, alle Belegungen, und zeigt das erste gefundene Gegenmodell. Probieren Sie T auf «allen Rahmen», dann auf den reflexiven: das Gegenmodell verschwindet, genau wie Teil 1 es versprochen hat.

Laboratoire · la force bruteLabor · die rohe Gewalt

FormuleFormel

Classe de cadresRahmenklasse

Comment · Wie

À la main, on fait pareil en plus malin : on suppose la formule fausse dans un monde, et on en déduit ce que les flèches et les valuations doivent contenir, monde par monde.

Si la construction aboutit, c'est un contre-modèle. Si elle se contredit sur toute branche, la formule est valide. Cette discipline s'appelle la méthode des tableaux sémantiques.

Von Hand macht man dasselbe, nur klüger: man nimmt an, die Formel sei in einer Welt falsch, und leitet daraus ab, was Pfeile und Belegungen enthalten müssen, Welt für Welt.

Gelingt die Konstruktion, ist es ein Gegenmodell. Widerspricht sie sich auf jedem Ast, ist die Formel gültig. Diese Disziplin heisst die Methode der semantischen Tableaus.

6Au-delà des logiques normalesJenseits der normalen Logiken

Français

Tout ce qui précède décrit les logiques normales : celles qui acceptent K et la nécessitation, et qui collent aux sémantiques de Kripke. Autour d'elles, trois familles de plus en plus larges se contentent de règles plus faibles.

Deutsch

Alles Bisherige beschreibt die normalen Logiken: jene, die K und die Necessitation annehmen und zu den Kripke-Semantiken passen. Um sie herum begnügen sich drei immer weitere Familien mit schwächeren Regeln.

Quatre familles emboîtées : chaque anneau accepte une règle de plus. Le cœur bleu, les logiques normales, est le domaine des modèles de Kripke.Vier geschachtelte Familien: jeder Ring nimmt eine Regel mehr an. Der blaue Kern, die normalen Logiken, ist das Gebiet der Kripke-Modelle.

FamilleFamilie	Règle acceptéeAngenommene Regel
ClassiquesKlassisch	RE : de A ↔ B, inférer □A ↔ □B
MonotonesMonoton	RM : de A → B, inférer □A → □B
RégulièresRegulär	RR : de (A ∧ B) → C, inférer (□A ∧ □B) → □C
NormalesNormal	K + RN (équivalent : la règle RK)

Pourquoi · Warum

Pourquoi affaiblir ? Parce que certaines lectures cassent K. Un agent aux ressources bornées ne connaît pas toutes les conséquences de ce qu'il sait : la logique de son savoir ne peut pas être normale.

Ces familles gardent alors une sémantique, mais différente : des voisinages de mondes plutôt que des flèches. Hors programme ici ; retenez le principe, chaque affaiblissement de règle élargit la famille.

Warum abschwächen? Weil manche Lesarten K brechen. Ein Agent mit begrenzten Ressourcen kennt nicht alle Folgen dessen, was er weiss: die Logik seines Wissens kann nicht normal sein.

Diese Familien behalten dann eine Semantik, aber eine andere: Nachbarschaften von Welten statt Pfeilen. Hier ausserhalb des Programms; behalten Sie das Prinzip, jede Abschwächung einer Regel weitet die Familie.

7La méthodeDie Methode

Français

Devant un problème modal, choisir sa logique avant de calculer. La marche à suivre :

Deutsch

Vor einem modalen Problem: erst die Logik wählen, dann rechnen. Der Ablauf:

Identifier la lecture de □.Die Lesart von □ bestimmen.

Que représentent les mondes ? Que dit une flèche ? Sans réponse, aucun axiome n'est justifiable. Was stellen die Welten dar? Was sagt ein Pfeil? Ohne Antwort lässt sich kein Axiom rechtfertigen.

Tester chaque axiome contre la lecture.Jedes Axiom an der Lesart prüfen.

T · « le nécessaire est vrai » : oui pour le savoir, non pour le devoir et la croyance.«das Notwendige ist wahr»: ja für Wissen, nein für Pflicht und Glauben. 4 · « qui sait, sait qu'il sait » : introspection positive, souvent accordée.«wer weiss, weiss, dass er weiss»: positive Introspektion, oft zugestanden. 5 · « qui ignore, sait qu'il ignore » : introspection négative, beaucoup plus discutée.«wer nicht weiss, weiss, dass er nicht weiss»: negative Introspektion, viel umstrittener.

Nommer le système, en déduire les cadres.Das System benennen, die Rahmen ableiten.

Le paquet d'axiomes retenu a presque toujours un nom (D, S4, KD45…), et sa classe de cadres avec (volet 1, section 5). Das gewählte Axiompaket hat fast immer einen Namen (D, S4, KD45…), und seine Rahmenklasse dazu (Teil 1, Abschnitt 5).

Pour prouver : dériver ou vérifier sur la classe.Zum Beweisen: herleiten oder auf der Klasse prüfen.

Grâce à la correspondance, démontrer dans le système et valider sur les cadres reviennent au même : on choisit le chemin le plus court. Dank der Korrespondenz laufen Herleiten im System und Prüfen auf den Rahmen auf dasselbe hinaus: man nimmt den kürzeren Weg.

Pour réfuter : un contre-modèle dans la bonne classe.Zum Widerlegen: ein Gegenmodell in der richtigen Klasse.

Attention : un contre-modèle non réflexif ne réfute rien dans S4. La classe fait partie de l'énoncé. Achtung: ein nicht reflexives Gegenmodell widerlegt in S4 gar nichts. Die Klasse gehört zur Aufgabenstellung.

Retenir le sens de l'échelle.Die Richtung der Leiter behalten.

Plus d'axiomes = plus de théorèmes = moins de cadres. Les deux inventaires bougent toujours en sens inverse. Mehr Axiome = mehr Theoreme = weniger Rahmen. Die beiden Bestände bewegen sich immer gegenläufig.

8Les six erreursDie sechs Fehler

Erreur 1 · Fehler 1

Confondre la règle RN avec la formule A → □A. La règle nécessite les théorèmes, vrais partout par nature. La formule nécessiterait n'importe quelle vérité locale, et ferait s'effondrer toutes les modalités. Aucun système raisonnable ne la contient.

Die Regel RN mit der Formel A → □A verwechseln. Die Regel macht Theoreme notwendig, die von Natur aus überall wahr sind. Die Formel machte jede lokale Wahrheit notwendig und liesse alle Modalitäten zusammenfallen. Kein vernünftiges System enthält sie.

Erreur 2 · Fehler 2

Mal placer la négation : lire « pas nécessaire » (¬□A, une simple contingence) comme « impossible » (□¬A, une interdiction). Le carré de la section 1 existe précisément pour vacciner contre cette confusion.

Die Negation falsch setzen: «nicht notwendig» (¬□A, blosse Kontingenz) als «unmöglich» (□¬A, ein Verbot) lesen. Das Quadrat aus Abschnitt 1 existiert genau als Impfung gegen diese Verwechslung.

Erreur 3 · Fehler 3

Croire D gratuit. □A → ◇A semble aller de soi, mais il échoue chez un monde aveugle : la boîte y est vraie à vide et le losange faux. D coûte la sérialité, chaque monde doit avoir un successeur. Le chercheur de contre-modèles le montre en un clic.

D für gratis halten. □A → ◇A scheint selbstverständlich, scheitert aber bei einer blinden Welt: die Box ist dort leer wahr und die Raute falsch. D kostet die Serialität, jede Welt braucht einen Nachfolger. Der Gegenmodell-Sucher zeigt es mit einem Klick.

Erreur 4 · Fehler 4

Simplifier les piles de boîtes sans permis. □□A n'est pas □A dans K : il faut 4 pour descendre de □A à □□A, et T pour remonter. Ce n'est qu'en S4 que la pile s'aplatit, et en S5 que toutes les suites de modalités se réduisent à la dernière.

Die Boxenstapel ohne Erlaubnis vereinfachen. □□A ist in K nicht □A: man braucht 4, um von □A zu □□A zu gelangen, und T für den Rückweg. Erst in S4 flacht der Stapel ab, und erst in S5 reduziert sich jede Modalitätenfolge auf die letzte.

Erreur 5 · Fehler 5

Prendre S5 par défaut pour toutes les lectures. En déontique, T dirait que tout obligatoire est réalisé ; en doxastique, que toute croyance est vraie. Faux dans les deux cas. Le système se choisit après la lecture, jamais avant.

S5 als Standard für alle Lesarten nehmen. Deontisch hiesse T, alles Gebotene sei verwirklicht; doxastisch, jeder Glaube sei wahr. Beides falsch. Das System wird nach der Lesart gewählt, nie davor.

Erreur 6 · Fehler 6

Inverser le sens de l'échelle. S5 est « plus fort » parce qu'il prouve plus de théorèmes, pas parce qu'il vaut sur plus de cadres : c'est l'inverse, ses cadres sont les plus rares. Force syntaxique et généralité sémantique varient en sens contraire.

Die Richtung der Leiter umkehren. S5 ist «stärker», weil es mehr Theoreme beweist, nicht weil es auf mehr Rahmen gilt: es ist umgekehrt, seine Rahmen sind die seltensten. Syntaktische Stärke und semantische Allgemeinheit laufen gegenläufig.

9Se testerSich prüfen

Français

Huit questions, une seule bonne réponse à chaque fois. L'explication tombe après votre choix.

Deutsch

Acht Fragen, jeweils genau eine richtige Antwort. Die Erklärung erscheint nach Ihrer Wahl.

10Lexique FR/DEWortschatz FR/DE

Français	Deutsch
l'axiome de distribution (K)	das Verteilungsaxiom (K)
la règle de nécessitation	die Notwendigkeitsregel (Necessitation)
le théorème	das Theorem
le système modal	das Modalsystem
la hiérarchie des systèmes	die Hierarchie der Systeme
le carré des oppositions	das Quadrat der Gegensätze
contradictoire	kontradiktorisch
contraire	konträr
subalterne	subaltern
la modalité aléthique	die alethische Modalität
épistémique / doxastique	epistemisch / doxastisch
déontique	deontisch
temporel	temporal
contrefactuel	kontrafaktisch
la logique dynamique	die dynamische Logik
obligatoire / permis / interdit / facultatif	geboten / erlaubt / verboten / freigestellt
l'introspection positive / négative	die positive / negative Introspektion
la connaissance commune	das gemeinsame Wissen
la logique normale	die normale Modallogik
monotone / régulière / classique	monoton / regulär / klassisch
le contre-modèle	das Gegenmodell
les tableaux sémantiques	die semantischen Tableaus
la classe de cadres	die Rahmenklasse
plus fort / plus faible (système)	stärker / schwächer (System)