Le second degré
Tout le monde récite « moins b plus ou moins racine de delta, sur deux a », et presque personne ne sait d’où sort cette ligne. Elle n’est qu’une identité d’algèbre : celle du carré qu’on complète. Une fois vue, elle explique le discriminant, la somme et le produit des racines, et le sommet de la parabole.
0Ce qu’on cherche
Une équation du second degré s’écrit ax² + bx + c = 0, avec a différent de 0. La résoudre, c’est trouver où la parabole y = ax² + bx + c coupe l’axe des abscisses.
| Pièce | Rôle |
|---|---|
| a | Le coefficient de x², jamais nul. Positif, il ouvre la parabole vers le haut ; négatif, vers le bas. |
| b | Le coefficient de x, qui déplace le sommet à gauche ou à droite. |
| c | Le terme constant : la parabole coupe l’axe vertical en (0 ; c). |
| Δ | Le discriminant b² − 4ac, qui tranche entre deux racines, une seule ou aucune. |
1La complétion du carré
La formule ne tombe pas du ciel. On transforme ax² + bx + c en un carré parfait plus une constante, ce qui permet d’isoler x.
Sous la forme ax² + bx + c, x apparaît deux fois et on ne peut pas l’isoler. Sous la forme a(x − α)² + β, il n’apparaît qu’une fois, dans un carré : il suffit de prendre une racine carrée. Tout le travail consiste à passer de l’une à l’autre.
L’équation devient a(x + b/2a)² = Δ/4a, avec Δ = b² − 4ac. On divise par a, on prend la racine carrée des deux côtés, puis on isole x. Le signe ± apparaît parce qu’un carré a deux racines, l’une positive et l’autre négative.
2Ce que décide Δ
Dans a(x + b/2a)² = Δ/4a, le membre de gauche est un carré multiplié par a. Le signe de Δ dit si l’égalité peut être vraie.
| Signe de Δ | Racines réelles | Exemple |
|---|---|---|
| Δ > 0 | deux, distinctes | x² − 5x + 6 = 0 : Δ = 1, racines 2 et 3 |
| Δ = 0 | une, double | x² − 6x + 9 = 0 : Δ = 0, racine 3 |
| Δ < 0 | aucune | x² + 2x + 5 = 0 : Δ = −16 |
Aucun nombre réel n’a un carré négatif : si Δ est négatif, l’égalité est impossible. Si Δ vaut 0, le signe ± n’a plus d’effet et l’unique racine −b/2a est dite double. Le sommet de la parabole est alors posé sur l’axe.
3Somme et produit des racines
Quand Δ est positif, les racines x₁ et x₂ obéissent à deux relations qui évitent souvent la racine carrée.
Additionner les deux racines de la formule fait disparaître le ± : (−b + √Δ)/2a + (−b − √Δ)/2a = −b/a. Les multiplier donne (b² − Δ)/4a² = 4ac/4a² = c/a. Pour 2x² + 3x − 2 = 0, les racines 1/2 et −2 donnent bien −3/2 et −1.
4Forme canonique et sommet
La complétion du carré livre aussi la forme canonique, donc les coordonnées du sommet.
Le carré (x − α)² s’annule en x = α : le sommet est le point (α ; β), un minimum si a est positif, un maximum sinon. Pour x² − 4x + 1, α = 2 et β = −3, soit (x − 2)² − 3.
On retrouve α par une autre voie : la dérivée 2ax + b s’annule exactement en x = −b/2a, là où la tangente est horizontale (voir dérivées et primitives).
5Le laboratoire
Faites varier a, b et c : le discriminant, les racines et le sommet se recalculent, et la parabole se redessine.
6Les pièges
7Se tester
Cinq questions, une seule bonne réponse à chaque fois.
8Le lexique
| Terme | Sens |
|---|---|
| discriminant | le nombre Δ = b² − 4ac, dont le signe fixe le nombre de racines réelles |
| racine | une valeur de x qui annule l’expression, ou solution de l’équation |
| racine double | l’unique racine quand Δ = 0, égale à −b/2a |
| forme canonique | l’écriture a(x − α)² + β, qui donne le sommet |
| relations de Viète | x₁ + x₂ = −b/a et x₁ · x₂ = c/a |
| Mitternachtsformel | nom allemand de la formule de résolution du second degré |