Le mouvement uniformément accéléré
Trois équations, v = v₀ + at, x = x₀ + v₀t + ½at² et v² = v₀² + 2aΔx, semblent trois formules à apprendre par cœur. Elles n’en font qu’une : l’accélération est constante, et tout s’en déduit.
0Position, vitesse, accélération
La cinématique décrit le mouvement sans se demander ce qui le cause. Trois grandeurs suffisent, chacune étant la variation de la précédente.
| Grandeur | Sens et unité |
|---|---|
| x(t) | La position sur un axe orienté, en mètres (m), à l’instant t en secondes (s). |
| v = dx/dt | La vitesse : la rapidité avec laquelle la position change, en mètres par seconde (m/s). Elle est signée. |
| a = dv/dt | L’accélération : la rapidité avec laquelle la vitesse change, en mètres par seconde carrée (m/s²). |
Quand l’accélération est nulle, la vitesse ne change pas et l’on parle de mouvement rectiligne uniforme : x = x₀ + vt. Quand elle est constante mais non nulle, le mouvement est dit uniformément accéléré. C’est le cas d’un freinage régulier ou d’une pierre lâchée dans le vide.
1D’où viennent les équations
Les trois formules découlent de la seule hypothèse « a constant ».
Si a est constant, v change de la même quantité à chaque seconde : v(t) = v₀ + at, où v₀ est la vitesse à t = 0. Le graphe de v en fonction de t est une droite de pente a. La position s’en déduit, car x est la primitive de v : x(t) = x₀ + v₀t + ½at².
Le facteur ½ vient d’une aire. Entre 0 et t, le déplacement est l’aire du trapèze sous la droite, soit la vitesse moyenne (v₀ + v)/2 multipliée par t, ce qui donne v₀t + ½at². C’est le lien entre dérivée et primitive vu dans dérivées et primitives.
La troisième équation élimine le temps. De v = v₀ + at on tire t = (v − v₀)/a. En portant dans Δx = (v₀ + v)/2 × t, on obtient Δx = (v² − v₀²)/2a, c’est-à-dire v² = v₀² + 2aΔx. Elle est précieuse quand l’énoncé donne une distance et ne parle jamais de durée.
2Chute libre et lancer vertical
La chute libre est le cas d’école : sans frottement de l’air, tous les corps tombent avec la même accélération, notée g.
Près de la surface de la Terre, g vaut environ 9,81 m/s² (valeur normale conventionnelle : 9,80665 m/s²). La masse n’intervient pas : une bille et une enclume lâchées dans le vide arrivent ensemble.
On lâche une pierre depuis 20 m sans vitesse initiale. Avec un axe orienté vers le bas, x = ½gt², donc t = √(2 × 20 / 9,81) ≈ 2,02 s. La vitesse d’arrivée vaut v = gt ≈ 19,8 m/s, soit environ 71 km/h. La troisième équation le confirme sans le temps : v = √(2gh) = √392,4 ≈ 19,8 m/s.
3Lire un graphe v(t)
Deux lectures suffisent sur un graphe de la vitesse en fonction du temps.
La pente de la courbe est l’accélération. L’aire entre la courbe et l’axe des temps est le déplacement, comptée négativement sous l’axe : déplacement et distance parcourue peuvent donc différer.
Une voiture passe de 0 à 20 m/s en 8 s. La pente vaut 20/8 = 2,5 m/s². L’aire du triangle est ½ × 8 × 20 = 80 m, ce que donne aussi ½at² = ½ × 2,5 × 64. Pour un freinage de 25 m/s (90 km/h) avec a = −5 m/s², le véhicule s’arrête en 5 s, après 25² / (2 × 5) = 62,5 m, hors temps de réaction du conducteur.
4Le laboratoire
Entrez v₀, a et t : les graphes et les valeurs finales se calculent, et la troisième équation est vérifiée en direct.
5Les pièges
6Se tester
Cinq questions, une seule bonne réponse à chaque fois.
7Le lexique
| Terme | Sens |
|---|---|
| cinématique | l’étude du mouvement sans s’occuper de ses causes |
| mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) | mouvement en ligne droite à accélération constante |
| vitesse | la dérivée de la position par rapport au temps, en m/s |
| accélération | la dérivée de la vitesse par rapport au temps, en m/s² |
| déplacement | la variation de position x − x₀, signée |
| chute libre | chute sous la seule action de la pesanteur, sans frottement |